+938 Eine Luftdruckpistole oder auch einfach "Luftpistole" gennant hat genau 16 Joule und das Projektil ist eine Kugel aus Zinn (ρ = 7,3g/cm3), das Projektil wog 8,65 g.
Die Luftpistole wurde im Winkel von 30 Grad nach oben abgefeuert, es herrschen 25 Grad Celsius und der Luftdruck beträgt 1020 kPh, der Wind steht still.
a) Berechne die Entfernung die das Projektil zurücklegen wird.
b) Was wäre, wenn die Luftpistole nicht 16 Joule sondern 160 Joule hätte?
c) Was wäre, wenn das Projektil nicht aus Zinn sondern aus Wolfram wäre (ρ = 19,25g/cm3).
d) Wie groß muss der Winkel sein, damit es das Projektil die höchste und niedrigste Entfernung zurücklegt?
e) Wie stark muss die Luftpistole sein, damit Sie eine Anfangsgeschwindigkeit von 300, 500 und 1000 m/s hat?
+938 Vielen Dank für die schnelle Antwort!
Und übrigens: Ich bin kein Sportschütze, sondern interresiere mich für dieses Thema.
Schönes Wochenende!
+14913 Pistolenschuss
Hi Mathefreaker!
Ich nehme an, dass die der Luftdruckpistole zugeordnete Energie, beim Abschuss voll auf das Geschoss übertragen wird. Der Strömungswiderstand vom Geschoss ist vom Quadrat der Geschwindigkeit abhängig. Da die Geschwindigkeit, also auch der Strömungswiderstand, während des Fluges abnimmt (berechenbar), wird die Berechnung für mich zu kompliziert (Differenzialgleichung).
Die Beantwortung deiner Fragen erfolgt deshalb ohne Berücksichtung des Strömungswiderstands.
a) Entfernung, die das Projektil erreichen wird.
Anfangsgeschwindigkeit
\(E=\dfrac{mv^2}{2}\\ 16J=\dfrac{8,65g\cdot v^2}{2}\\ v=\sqrt{\dfrac{2\cdot 16J}{8,65g}\cdot \dfrac{kg\cdot m^2}{J\cdot s^2}\cdot \dfrac{1000g}{kg}}\\ \color{blue}v_{16}=60,823\ m/s \)
Flugzeit
Die in der Zeit t erreichte Höhe ist gleich der Fallstrecke des Geschosses.
\(h=v\cdot t\cdot sin \ 30^\circ=\frac{g}{2}t^2\\ \frac{g}{2}t^2-v\cdot t\cdot 0,5=0\\ (\frac{g}{2}t-0,5v)\cdot t=0\\ \frac{g}{2}t-0,5v=0\\ t=\dfrac{0,5v\cdot 2}{g}=\dfrac{60,823m\cdot s^2}{s\cdot 9,807m}\\ \color{blue }t=6,202s\)
Entfernung
\(s=v\cdot t\cdot cos\ 30^\circ=\dfrac{60,823m\cdot 6,202s\cdot cos\ 30^\circ}{s}\\ \color{blue}s=326,684m\)
Erstmal Pause. Wird aber fortgesetzt. Übrigens, bist Du Sportschütze?
b) Was wäre, wenn die Luftpistole 160 Joule hätte?
\(E=\dfrac{mv^2}{2}\\ v_{160}=\sqrt{\dfrac{2E}{m}}=\sqrt{\dfrac{2\cdot 160J}{8,65g}\cdot \dfrac{kg\cdot m^2}{J\cdot s^2}\cdot \dfrac{1000g}{kg}}\\ \color{blue}v_{160}=192,339\ m/s\)
+14913 Flugzeit
\(t=\dfrac{0,5v\cdot 2}{g}=\dfrac{192,339m\cdot s^2}{s\cdot 9,807m}\\ \color{blue }t_{160}=19,612s\)
Entfernung
\(s=v\cdot t\cdot cos\ 30^\circ\\ s=192,339m/s\cdot 19,612s\cdot cos\ 30^\circ\\ \color{blue}s_{160}=3266,84m \)
Facit: Die Die Auftreffentfernung ist direkt proportional zur Mündungsenergie.
c) Das Projektil ist nicht aus Zinn (ρ = 7,3g/cm^3) sondern aus Wolfram (ρ = 19,25g/cm^3).
\(m_{Sn}:m_W=7,3:19,25\\ 8,65g:m_W=7,3:19,25\\ m_W=\dfrac{8,65g\cdot 19,25}{7,3}\\ \color{blue}m_W=22,81g\)
\(Der\ Index\ _W\ steht f\ddot ur\ Wolfram.\)
Anfangsgeschwindigkeit
\(E=\dfrac{mv^2}{2}\\ v_W=\sqrt{\dfrac{2E}{m_W}}=\sqrt{\dfrac{2\cdot16J}{22,81g}\cdot \dfrac{kg\cdot m^2}{J\cdot s^2}\cdot \dfrac{1000g}{kg}}\\ \color{blue}v_W=37,455\ m/s\)
Flugzeit
\(\dfrac{g}{2}t^2-v_W\cdot sin\ 30^\circ \cdot t=0\\ {\color{blue}(\dfrac{g}{2}t-v_W\cdot sin\ 30^\circ )}\cdot t=0\\ t_W=\dfrac{2\cdot v_W\cdot sin\ 30^\circ }{g}=\dfrac{2\cdot 37,455m\cdot sin\ 30^\circ\cdot s^2 }{s\cdot 9,807m}\\ \color{blue}t_W=3,819s\)
Entfernung
\(s_W=v_W\cdot t_W\cdot cos 30^\circ \\ s_W=37,455m/s\cdot 3,819s\cdot cos 30^\circ \\ \color{blue}s_W=133,844\ m\)
d) Wie groß muss der Winkel sein, damit das Projektil die größte Auftreffentfernung erzielt?
\(s=v\cdot t\cdot sin\ 30^\circ\)
Pause. Wird fortgesetzt!
!
+938 Vielen Dank für die schnelle Antwort!
Und übrigens: Ich bin kein Sportschütze, sondern interresiere mich für dieses Thema.
Schönes Wochenende!
+938 Ich setze mal d) und e) fort.
d) Um den Winkel zu berechnen, bei dem das Projektil die höchste und niedrigste Entfernung zurücklegt, müssen wir die Formel für die maximale Wurfweite verwenden:
\(R = (v^2/g) * sin(2θ)\)
wobei R die Wurfweite, v die Anfangsgeschwindigkeit, g die Erdbeschleunigung und θ der Winkel ist.
Um die höchste Entfernung zu erreichen, muss der Winkel 45 Grad betragen, also θ = 45°. Um die niedrigste Entfernung zu erreichen, müssen wir den Winkel auf 0 oder 90 Grad setzen. In diesen Fällen wird das Projektil senkrecht nach oben oder unten abgeschossen, und die Entfernung beträgt 0.
e) Um die benötigte Kraft zu berechnen, um eine Anfangsgeschwindigkeit von 300, 500 und 1000 m/s zu erreichen, verwenden wir die Formel für kinetische Energie:
\(E = 1/2 * m * v^2\)
Setzen wir die gegebenen Werte für die Geschwindigkeit ein und nehmen an, dass die Masse des Projektils konstant bleibt (8,65 g), können wir die benötigte Energie berechnen:
Für eine Anfangsgeschwindigkeit von 300 m/s: \(E = 1/2 * 0,00865 kg * (300 m/s)^2 = 369,225 J\)
Für eine Anfangsgeschwindigkeit von 500 m/s:\( E = 1/2 * 0,00865 kg * (500 m/s)^2 = 1081,5625 J\)
Für eine Anfangsgeschwindigkeit von 1000 m/s: \(E = 1/2 * 0,00865 kg * (1000 m/s)^2 = 4326,25 J\)
Diese Energie muss von der Luftpistole bereitgestellt werden, um das Projektil mit der gewünschten Geschwindigkeit zu beschleunigen.
Falls ich irgenwelche Fehler gemacht habe, sag mir bescheid!
Übrigens, wie machst du bei LaTeX die Schriftfarbe blau?
