Sorry I Couldn't Type This Out

We have

   x  =       1 +   √2

                        _________

                        1 + √2

                              _________

                                1  +    .....

We can write

x  =   1  +  √2

                ___

                   x                    multiply both sides by x

x^2  =  x  +  √2

x^2  -  x   - √2   =  0

The solutions to this   are   

 x  =    1 /2 + √ [ 1  + 4√2]  / 2      and x  =     1/2 - √ [ 1  + 4√2]  / 2 

Evaluating      1 /  [ ( x  + 1) (x - 2) ]   for either value of x gives

Here's the  detail when  x  = the first value...you can check that the other value gives exactly the same thing  for   l A l  + l B l  +  l C l

                                  1

       _________________________________________________

       (  1 /2 + √ [ 1  + 4√2]  / 2   +  1)  (  1 /2 + √ [ 1  + 4√2]  / 2  - 2)

                                    1

      __________________________________________________

         (  √ [ 1  + 4√2]  / 2   + 3/2 ) (   √ [ 1  + 4√2]  / 2   - 3/2 )

                                   1

                 ______________________

                   ( [ 1  + 4√2]  / 4  -  9/4 )

                                    1

                     _________________

                              √2  -   2

                               2  +  √2

                             ________

                                  -2     

So  ....  A, B=  2 and C  =  -2    and    l A l  +  l B l  + l C l  =   6