Winkel zwischen Vektoren - Skalarprodukt

Berechnen Sie die Längen der Seiten, die Größen der Winkel und die Fläche des eingeschlossenen Dreiecks..

Hallo Gast!

Die Skalarprodukt-Rechnung ist leider nicht mein Gebiet.

Deshalb die Lösung mit Formeln der analytischen Geometrie und der Integralrechnung.

Funktion AB:

${\color{blue}m_{AB}}=\dfrac{y_b+y_b}{x_a-x_b}=\dfrac{-1 -1}{5-2}=\color{blue}-\dfrac{2}{3}\\ AB(x)=m(x-x_a)+y_a\\ AB(x)=-\dfrac{2}{3}(x-2)+1=-\dfrac{2}{3}x+\dfrac{4}{3}+1\\ \color{blue}AB(x)=-\dfrac{2}{3}x+\dfrac{7}{3}$

Funktion AC:

${\color{blue}m_{AC}}=\dfrac{3-1}{4-2}=\color{blue}1\\ AC(x)=1(x-2)+1=x-2+1\\ \color{blue}AC(x)=x-1$

Funktion BC:

${\color{blue}m_{BC}}=\dfrac{3-(-1)}{4-5}=\color{blue}-4\\ BC(x)=-4(x-4)+3=-4x+16+3\\ \color{blue}BC(x)=-4x+19$

Schnittwinkel:

$\tan\angle{BAC}=|\dfrac{m_{AB}-m_{AC}}{1+m_{AB}\cdot m_{AC}}| =|\dfrac{-0,6\overline6-1}{1+(-0,6\overline6)\cdot 1}|=5\\ {\color{blue}\angle{BAC}}=atan (5)=\color{blue}78,690^\circ$

$\tan\angle{ABC}=|\dfrac{m_{AB}-m_{CB}}{1+m_{AB}\cdot m_{CB}}| =|\dfrac{-0,6\overline6-(-4)}{1+(-0,6\overline6)\cdot (-4)}|=\dfrac{10}{11}=0,9\overline{09}\\ {\color{blue}\angle{ABC}}=atan (0,9\overline{09})=\color{blue}42,274^\circ$

$\tan\angle{ACB}=|\dfrac{m_{AC}-m_{BC}}{1+m_{AC}\cdot m_{BC}}| =|\dfrac{1-(-4)}{1+1\cdot (-4)}|=\dfrac{5}{3}\\ {\color{blue}\angle{ACB}}=atan (1,6\overline6)=\color{blue}59,036^\circ$

Fläche des eingeschlossenen Dreiecks:

$\color{blue}A_{ABC}=\int_{x_A}^{x_C}AC(x)dx+\int_{x_C}^{x_B}BC(x)dx-\int_{x_A}^{x_B}AB(x)dx\\ \int_{x_A}^{x_C}AC(x)dx=\int_{2}^{4}(x-1)dx=|_{2}^{4}\ \frac{x^2}{2}-x|=4-0=\color{blue}4\\ \int_{x_C}^{x_B}BC(x)dx=\int_{4}^{5}(-4x+19)dx=|_{4}^{5}-2x^2+19x |=45-44= \color{blue}1$

$\int_{x_A}^{x_B}AB(x)dx=\int_{2}^{5}(-\dfrac{2}{3}x+\dfrac{7}{3})dx =|_{2}^{5}\ -\dfrac{x^2}{3}+\dfrac{7}{3}x\ | =-\dfrac{25}{3}+\dfrac{35}{3}-(-\dfrac{4}{3}+\dfrac{14}{3})=\color{blue}0$

$A_{ABC}=\int_{x_A}^{x_C}AC(x)dx+\int_{x_C}^{x_B}BC(x)dx-\int_{x_A}^{x_B}AB(x)dx\\ {\color{blue}A_{ABC}}=4+1-0=\color{blue}5$

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