Bosco

One of the five quadratics below has a repeated root.     

(The other four have distinct roots.) What is the repeated root?     

To have a repeated root, a and c both have to be positive squares.     

There is only one of the listed quadratics that fits this description.     

     x² – 28x + 196 factors to (x – 14)(x – 14)   ——>>   x  =  +14     

_.     

The equation x^2 + y^2 + 10x - 8y = 59 can be written in the     

form (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2, where h, k, and r are integers. Find the value of r^2.     

                    x² + y² + 10x – 8y  =  59     

Rearrange & add parentheses in     

preparation to complete squares.     

                    (x² + 10x    )  +  (y² – 8y    )  =  59     

To find c, if a=1, then c = (b/2)²     

                    (x² + 10x + 25)  +  (y² – 8y + 16)  =  59 + 25  + 16     

                    (x + 5)²  +  (y – 4)²  =  100    ——>>     r²  =  100     

_.     

On the graph of y = (x + 2)^2 - 10, how many points are there whose coordinates are both negative integers?     

          y  =  (x + 2)² – 10     

          Considering only integers, it's obvious that when x < –6     

          then y goes positive, so with so few let's just try them all.     

          when x = –1,  y  =    –9     

          when x = –2,  y  =  –10     

          when x = –3,  y  =    –9     

          when x = –4,  y  =    –6     

          when x = –5,  y  =    –1        so there are five such points.     

_.     

make x the subject of the formula y=a(x+b)     

                                             y  =  a(x + b)     

                                         y / a  =  x + b     

                                (y / a) –  b  =  x     

By convention, the subject is usually located     

on the left, although it doesn't have to be.     

                                so,         x  =  (y / a) –  b     

_.     

There are 12 ordered pairs of integers (x,y) that satisfy x^2 + y^2 = 25.     

What is the greatest possible sum x+y if x = 5?      

                                                      x² + y²  =  25     

                              if x = 5             5² + y²  =  25     

                                                     25 + y²  =  25     

                                                             y²  =  25 – 25     

                                                             y²  =  0     

                                                             y    =  0     

                                                         x + y  =  5     

_.     

Compute
1 + \frac{3}{6} + \frac{5}{6^2}     

                                                         1   +  ³/₆  +  ⁵/₃₆     

using a common denominator:      ³⁶/₃₆ + ¹⁸/₃₆ + ⁵/₃₆     

                                                       ⁵⁹/₃₆  =  1 ²³/₃₆     

_.     

What are all solutions to the equation x^2 + 3x - 10 = 18x - 15?     

                                                            x² + 3x – 10  =  18x – 15     

                                                            x² – 15x + 5  =  0     

Good luck factoring that . . .     

need the quadratic formula     

                                                                     – b  +  sqrt( b² – 4ac )     

                                                            x  =  –––––––––––––––––––     

                                                                                 2a     

                                                            x  =  [ 15 + sqrt( 225 – 20 ] / 2     

                                                            x  =  ¹/₂ • [ 15 + sqrt(205) ]     

                                                            x  =  14.65891         

                                                            x  =    0.34109     

_.     

The line is x = 4, and the equation of the circle is x^2 + y^2 = 25.     

                                         x² + y²  =  25     

                                         4² + y²  =  25     

                                         16 + y²  =  25     

                                                 y²  =  9     

                                                 y   =  +3     

                            AB  =  3 – (–3)  =  3 + 3     

                                               AB  =  6     

_.     

               60 + x             100 + x     

             ––––––––   =   ––––––––       

              100 + x            140 + x     

    (140 + x)(60 + x)  =  (100 + x)(100 + x)     

    x² + 200x + 8400  =  x² + 200x + 10000     

    The next step would be 8400 = 10000     

    so the problem has no solution.     

_.     

An angle measures 178° less than the measure of its supplementary angle plus 56 degrees. What is the measure of each angle?     

Call "x" one of the supplemantary angles.     

Then, "180 – x" would be the other angle.     

      x + 178  =  (180 – x) + 56     

      x + 178  =  180 – x + 56     

           x + x  =  180 + 56 – 178     

               2x  =  58     

                 x  =  29     

     180 – 29  =  151     

     so the two angles are 29^o and 151^o     

_.