CPhill

  x^2  / ( x + 2)  =   x^2 (x + 2)^(-1)  = f(x)

Take the derivative and set to 0

f'(x)  =  2x (x + 2)^(-1) - x^2 (x + 2)^(-2)  = 0

(x + 2)^(-2) [ 2x ( x + 2) - x^2]  =  0

x^2 + 4x  =  0

x ( x + 4)  = 0

Local Max occurs at x = -4

Local Min occurs at x = 0

No min for  x >  2

\(f(x) = \frac{x^4 + 2x^3 + 3x^2 + 2x + 1}{x}. \)

Simplify as

f(x)  =  x^3 + 2x^2 + 3x + 2 + x^(-1)        take the derivative and set to 0

3x^2 + 4x + 3 - x^(-2)  =  0      multiply through by x^2

3x^4 + 4x^3 + 3x^2 - 1  =  0

Graphing this shows a local min  at   x ≈  .43426

\(\frac{1}{x} \ge 3 - 2x \)

1  ≥ 3x - 2x^2

2x^2 -3x + 1  ≥  0       set as an equality  to find test intervals

2x^2 - 3x + 1   =  0

x =   [ 3 + sqrt [ 9 - 8]] / 4  =  1     or    x =  [ 3 - sqrt [ 9 -8 ] ] / 4] =  1/2

Solution

0 < x  ≤ 1/2   ∪    x  ≥ 1

\(f(x) = \log (-20x + 16 \sqrt{x} - x) \)

f'x =  1  / [ -20x + 16sqrt x - x] * ln 10  =   ln 10 * ( -20x + 16sqrt x - x)^-1 * [ -20 + 8 / x^(1/2) - 1 ]

Simplify and set to 0 to  0       

-20  + 8 / (x)^(1/2) - 1  =  0 

-21 + 8 / x^(1/2)  = 0

8/ x^(1/2)   = 21

x^(1/2)  = 8/21          square both sides

x =  (64 / 441)

2 + sqrt 2   +  1/(2 + sqrt 3) * ( 2-sqrt 3)/(2 -sqrt 3)  +  1/ (sqrt 5 - 2) * (sqrt 5 + 2)/(sqrt 5 +2)  =

2 + sqrt 2  + 2 - sqrt 3  +  sqrt 5 + 2   =

6 + sqrt 2 - sqrt 3 + sqrt 5

2^(16x) = 128 * 4^x

2^(16x)  2^7 * (2^2)^x

2^(16x)  = 2^7 * 2^(2x)

2^(16x)  = 2^(7 + 2x)

16x  = 7 + 2x

14x  = 7

x = 7/14 =  1/2

2^x  = 2^(1/2)  =  sqrt 2

a + b  = 14

b = 14  - a

a^3  + (14 -a)^3  = 812 + a^2 + (14 -a)^2

a^3  - a^3 + 42a^2 -588a + 2744  = 812 + a^2 + a^2 - 28a + 196

40a^2  - 560a + 1736  =  0 

5a^2  -  70a + 217  =  0

a  =  [  70  +  sqrt  [  70^2  - 20*217] ] / 10   =  [ 70 + sqrt [ 15260] ] / 10  =  [ 70 + 2sqrt 35 ] / 10  =

7 +  sqrt (35) / 5

And  b =  7 - sqrt(35) / 5

Also   a =  7 - sqrt (35) / 5     and b = 7 + sqrt (35)   / 5

L0  =  2

L1  =  1

L2  =  3

L3  =  4

L4  =  7

P = 2^(1/2) * 4^(1/4) * 8^(1/8)* 16^(1/16)

P =  2^(1/2) * (2^2)^(1/4) * (2^3)^(1/8) * (2^4)^(1/16)

P = 2^(1/2)* 2^(1/2) *2^(3/8) * 2^(1/4)

P = 2^[ ( 4 + 4 + 3 + 2)  / 8 ]

P = 2^( 13 / 8)

P =   ⁸ √ (2^13)

a + b =    8  + 2^13   =  8 + 8192  =   8200

\(P = 3^{1/3} \cdot 9^{1/9} \cdot 27^{1/27} \cdot 81^{1/81} \)

\( \sqrt[a]{b} \)

P  =  3^(1/3) *  (3^2)^(1/9) * (3^3)^(1/27) * (3^4)^(1/81)

P = 3^(1/3) * 3^(2/9) * 3^(1/9) *3^(4/81)

P = 3 ^( 1/3 + 2/9 + 1/9 + 4/81)

P = 3^ [ ( 27 + 18 + 9 + 4 ) / 81 ]

P = 3 ^ [ 58 / 81]  =   ⁸¹ √ (3*58)

a + b =   81 + 3^58  =   81 +   4710128697246244834921603689    =  4710128697246244834921603770

a1  =  1

a2 =   2

a3  = a2 * (2/1)   =  2 * 2 =  4

a4 =   a3 + (a3 -a2) =  4 + 2 = 6

a5 =  6 * (6/4)  =  9

a6  = a5+ (a5 -a4)  = a5 + 3  = 12

The series is

a1   a2   a3   a4    a5    a6  ......

1     2     4      6      9     12

\( \frac{1 + 3 + 5 + ... + 1999 + 2001 + 2003}{2 + 4 + 6 + ... + 2000 + 2002 + 2004 + 2006 + 2008 + 2010} \)

Number of odd  terms in numerator   =   [2003 +1] / 2  = 1002

Sum of  1st n odd terms =  n^2

Number of  even terms in  denominator =  [2010 - 2] / 2  + 1  = 1006

Sum of 1st n even terms  = (n)(n+1)

Evaluation

1002^2 / [ 1006 * 1007]  =   502002 /  506521

We have these two  equations

a / ( 1 - r)  = 9     →  a = 9(1 - r)   → a^3  = 729( 1 -r)^3        (1)

a^3 / (1 - r^3)  = 36    →  a^3  = 36 * (1 -r^3)          (2)

Set (1) = (2)

729 ( 1 -r)^3  =  36 (1 - r^3)

729 [ ( 1 -r) (1- r)^2 ]  =  36 / [ (1-r) (1 + r + r^2)]

729 (1 - r)^2  = 36 ( 1 + r + r^2)

729 ( r^2 - 2r + 1)  =  36 ( 1 + r + r^2)

729r^2 - 1458r + 729  =  36 + 36r + 36r^2

693r^2  -1494r + 693  = 0

Solving for r produces

r  =  [83  - 8sqrt 15 ] / 77  ≈  .67553

and

r = [ 83 + 8sqrt 15 ] / 77  ≈  1.4803

Since, in an infinite series

-1 < r < 1....then   only the first solution is  good

We need to  work  with three equations 

7a1  =  a1 + a1r  + a1r^2  →    6a1  = a1r + a1r^2 →  6  = r + r^2      (1)

a1 + a1r  + a1r^2  + a1r^3  =  30  →  a1 ( 1 + r + r^2 + r^3)  =  30 →  1 +( r + r^2) + r^3  =  30/a1 → 

1 + 6 + r^3  = 30/a1  →  7 + r^3  = 30/a1      (2)

a1   ( 1 - r^4) / (1 - r)  =  30   →   (1-r^4) / (1 - r)  = 30/a1      (3)

Set (3)  =  (2)   and solve for  r

(1 - r^4) / (1 - r)  =  7 + r^3

1 -r^4  = (1 -r) (7 + r^3)

1 -r^4  =  7 + r^3 - 7r - r^4

1  = 7 + r^3 -7r

r^3 - 7r  + 6  =  0

Possible  solutions  for  r

r =1   (reject...it make equation 3  undefined)

r = 2 , -3 

If  r =  2

Then 

a1   ( 1 - 2^4) / (1 - 2)  = 30

a1 (-15)/(-1)  = 30

a1 * 15  =  30

a1  = 30 / 15  =  2 

If r =  -3

a1 [1 - (-3)^4 ]  / ( 1 + 3)   =30

a1 [ -80] / 4  = 30

a1 * -20  = 30

a1 = 30 / -20  =  -3/2

yz / (y + z)  = 2                    xz / (x + z)  =  1

yz  = 2y + 2z                       xz =  x + z

yz - 2y  = 2z                        xz - x  = z

y ( z -2) = 2z                       x ( z -1)  = z

y  = 2z / ( z - 2)                   x  =  z/ (z -1)

xy / (x + y)  = 1

xy  = x + y

z / (z -1)  * 2z / (z -2)  =  z/(z-1) + 2z / (z -2)

2z^2 / [ ( z -1) (z -2)] =  [ z (z -2) + 2z (z -1) ] / [ (z -1) ( z -2) ]

2z^2  =  [ z ( z -2) + 2z ( z -1)

2z^2  = 3z^2  - 4z

z^2 - 4z  =  0

z ( z -4)  =  0

z = 0 (  reject  )     and        z =   4

r + s =  2m    square both sides

r^2  + 2rs + s^2  =  4m^2

r^2 + s^2  = 4m^2  - 2rs

rs  = m^2 - 6m + 11

2rs  = 2m^2 -12m + 22

So

r^2 + s^2  = 4m^2 - 2rs

r^2 + s^2  = 4m^2 - (2m^2 - 12m + 22)

r^2 + s^2  = 2m^2 + 12m - 22

(r - s)^2  =

r^2 + s^2  -  2rs   =

2m^2 + 12m - 22  - (2m^2 - 12m + 22)  =

24m - 44

This is a linear expression.....there is  no real number minimum

z +  1/z  =  1

z^2  + 1  =  z

z^2  - z  =    -1             complete the square on  z

z^2 - z + 1/4  =  -1  + 1/4

(z - 1/2)^2    =   -  3/4

z - 1/2 =   +/-  sqrt [ -3] /2

z  =   [1 - sqrt (3) i ] / 2                 or              z = [ 1 + sqrt (3) i ] / 2

z^2  =  [ 1 - 2sqrt(3)i - 3] / 4

z^2  =  [ -1/2  -sqrt(3)i / 2]

z^2  =  - [ 1 + sqrt (3) i ] / 2

z^3 = z * z^2

z^3 =  - [ 1 - sqrt (3) i] / 2 *  [1 +sqrt(3)i] / 2  =  - [1 + 3] / 4  =   -1

And

z^2  =   [ 1 + 2sqrt (3)i  -3 ] / 4  =  [ -1 + sqrt (3)i ] / 2

z^3  = z * z^2   =   [ 1 + sqrt (3) i ] / 2   *  [ -1 + sqrt (3) i ]  /  2   =

[-1  - 3 ] / 4   =    -1