geno3141

The multiples of 3 are 3, 6, 9, 12

The multiples of 2 are 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14

You shouldn't count the duplicates, so you end with 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14

There are 9 winning numbers out of 14 possible numbers.

The probability is 9/14.

                                                 (1/3)·t - 5  <   t - 2   <=  -3t + 7

Multiply each term by 3:                   t - 15 <  3t - 6  <=  -9t + 21

Subtract t from all three parts:            -15  <  2t - 6  <=  -10t -+21

Solving this part:  -15  <  2t - 6                               Solving this part:  2t - 6  <=  -10t + 21

                               -9  <  2t                                                               12t - 6  <=  21

                              -4.5 <  t                                                                      12t  <=  27

                                                                                                                    t  <=  27/12

Combining these:  (-4.5, 2.25]

When you divide by a fraction (3/4), multiply by the inverse of that fraction (4/3).

30 / (3/4)   =   30 x (4/3)   =  120/3  =  40

If  x + 3y  =  Kx     --->     K  =  (x + 3y)/x     [Assuming that x is not equal to zero.]

If  y + 3x  =  Ky     --->     K  =  (y + 3x)/y     [Assuming that y is not equal to zero.]

Set these equations equal to each other:     (x + 3y)/x  =  (y + 3x)/y

Cross multiply:                                                xy + 3y²  =  xy + 3x²

Simplify:                                                                  3y²  =  3x²

Simplify:                                                                    y²  =  x²

Re-arrange:                                                        y² - x²  =  0

Factor:                                                       (y - x)(y + x)  =  0

Therefore:      y  =  x     or     y  =  -x

If  y  =  x:     x + 3y  =  Kx     --->        x + 3x  =  Kx     --->       4x  =  Kx     --->      K  =  4

If  y  =  -x:    x + 3y  =  Kx     --->     x + 3(-x)  =  Kx     --->     -2x  =  Kx     --->      K  =  -2

To have removed at most 2 pennies out of 4 coins, you could have either selected 4 nickels, 3 nickels and 1 penny, or 2 nickels and 2 pennies.

There is only one way to select 4 nickels:  6/11 x 5/10 x 4/9 x 3/8  =  1/22

There are four ways to select 3 nickels and 1 penny; each way is:  6/11 x 5/10 x 4/9 x 5/8  =  1/66

     4 x 1/66  =  2/33

There are six ways to select 2 nickels and 2 pennies; each way is:  6/11 x 5/10 x 5/9 x 4/8  =   5/66

     6 x 5/66  =  5/11

Adding these probabilities:  1/22 + 2/33 + 5/11  =  37/66

The first card can be any card:    52/52

The next card can be any of the twelve cards that are of the same suit as the first card:  12/51

Probability  =  52/52 x 12/51  =  4/17

_nC_{k  /  n}C_{k+1   =   4 / 11}

_nC_k  =  n! / [ k! · (n - k)! ]          _nC_k+1  =  n! / [ (k + 1)! · ( n - (k + 1) )! ]     --->     _nC_k+1  =  n! / [ (k + 1)! · (n - k - 1)! ]

_nC_{k  /  n}C_k+1   =   n! / [ k! · (n - k)! ]   /   [ n! / [ (k + 1)! · (n - k - 1)! ] ]

                     =    [ n! · (k + 1)! · ( n - k - 1) )! ]  /  [ k! · (n - k)! · n! ]

                     =   (k + 1) / (n - k)

But     (k + 1) / (n - k)  =   4 / 11

--->     k + 1  =  4     --->     k  =  3

--->     n - k  =  11    --->     n - 3  =  11     --->     n  =  14

h  =  -16t² + 1250

Since  h = 6     --->     6  =  -16t² + 1250

                              16t²  =  1244

                                  t²  =  77.75

                                   t  =  sqrt(77.75)     --->     8.82 sec                           (ignore the negative square root)

Let          1/d    be the rate that Dwight works  [1 job every d hours]

Then 1/(d - 3)  is the rate that Joe works         [1 jobe every d - 3 hours] 

rate x time  =  amount done                      Total amount done is 1 job

(amount done by Dwight)  +  (amount done by Joe)  =  Total work done

        (1/d) x 2                     +       ( 1/(d - 3) } x 2         =  1

Mulriply both sides by  d · (d - 3):

    [d · (d - 3)] · (1/d) x 2   +  [d · (d - 3)] · ( 1/(d - 3) ) x 2  =  1 · [d · (d - 3)]

               2(d - 3)              +                2d                           =  d² - 3d

                                                                      2d - 6 + 2d  =  d² - 3d

                                                                                      0  =  d² - 7d + 6

                                                                                      0  =  (d - 6)(d - 1)

If  d = 6 hours (Dwight), then  d - 3  =  3 hours (Joe).