geno3141

Hints --

Draw a 3 x 3 grid  --  How many lines did you draw?

What is the total length of the lines?

So, how long must each line be?

Draw a 6 x 6 grid  --  How many lines did you draw?

Is each line the same length as the line that you drew for the 3 x 3 grid?

So, how long is the total length?

If  (a - b) / a  =  b / (a - b)  then what are the values of a/b?

(a - b) / a  =  b / (a - b)

cross-multiply:        (a - b)²  =  a·b

                      a² - 2ab + b²  =  ab

                       a² - 3ab + b²  =  0

Using the quadratic formula (solving for a, using b as a constant):

                 a  =  [ - -3b  +/-  sqrt( (-3b)² - 4·1·b² ) ] / ( 2·1 )

                 a  =  [ 3b +/- sqrt( 9b² - 4b² ) / 2

                 a  =  [ 3b +/- sqrt( 5b² ) / / 2

                 a  =  [ 3b +/- sqrt(5)·b ] / 2

                 a  =  [3 + sqrt(5)] / 2 · b     --->     a/b  =  [3 + sqrt(5)] / 2

                 a  =  [3 - sqrt(5)] / 2 · b      --->     a/b  =  [3 - sqrt(5)] / 2

Let  x  =  number of times he missed the shot. (costing him 25 cents per shot missed)

Then  100 - x  =  number of times that he made a basket.  (gaining him 10 cents per shot made)

0.10(100 - x) - 0.25(x)  =  5.10

  10.00 - 0.10x - 0.25x  =  5.10

              10.00 - 0.35x  =  5.10

                         -0.35x  =  -.90

                                  x  =  14     <---   number of shots missed.

AX = 4

BY = 18

Call  XC = x

then YC = 2x

Triangle(AXC)  is a right triangle   --->   AC²  =  AX² + XC²  --->   AC²  =  4² + x²   --->   AC  =  sqrt(16 + x²)

Triangle(BYC)  is a right triangle   --->   BC²  =  BY² + YC²  --->   BC²  =  18² + (2x)²   --->   BC  =  sqrt(324 + 4x²)

Area( trapezoid(AXYB) )  =  ½·(x + 2x)(4 + 18)  =  33x

Area( triangle(AXC) )  =  ½·4·x  =  2x

Area( triangle(BYC) ) =  ½·18·2x  =  18x

Area( triangle(ABC) )  =  Area( trapezoid(AXYB) )  -  Area( triangle(AXC) )  -  Area( triangle(BYC) )

                                     =  33x - 2x - 18x  =  13x

Also:  area( triangle(ABC) )  ½·AC·BC  =  ½· sqrt(16 + x²)·sqrt(324 + 4x²)

                                                               =  ½· sqrt( (16 + x²) · (324 + 4x²) )

                                                               =  ½· sqrt( 4x⁴ + 388x² + 5184 )

Therefore:     ½· sqrt( 4x⁴ + 388x² + 5184 )  =  13x

                          sqrt( 4x⁴ + 388x² + 5184 )  =  26x

                                    4x⁴ + 388x² + 5184  =  676x

                                     4x⁴ - 288x² + 5184  =  0

                                         x⁴ - 72x² + 1296  =  0

                                          (x² - 36)(x² - 36  =  0

                            (x + 6)(x - 6)(x + 6)(x - 6)  =  0

--->   x  =  6

--->   XC  =  x   --->   XC  =  6

--->   YC  =  2x   --->   YC  =  12

--->   AC  =  sqrt(16 + x²)   --->   AC  =  sqrt(52)

--->   BC  =  sqrt(324 + 4x²)  --->   BC  =  sqrt(468)

--->  AB²  =  AC² + BC²   --->   AB²  =  52 + 468  =  520   --->   AB  =  sqrt(520)

                        (2x + 3y)² - (x + y)²  =  1 + 10xy

(4x² + 12xy + 9y²) - (x² + 2xy + y²)  =  1 + 10xy

       4x² + 12xy + 9y² - x² - 2xy - y²  =  1 + 10xy

                             3x² + 10xy + 8y²  =  1 + 10xy

                                         3x² + 8y²  =  1

This is an ellipse  --  center at (0,0)         x-radius = 1/sqrt(3)          y-radius = 1/sqrt(1/8)

Since there are only 32 numbers to try:  0²,  1²,  2², 3², ..., 31²  (32² is larger than 1000), it would be easiest just to try them all.

However, if you want a little more orgainized way, you might consider this:

What is the result when the

--  one's digit is a 1?       1

--  one's digit is a 2?       4                             x

--  one's digit is a 3?       9

--  one's digit is a 4?       6

--  one's digit is a 5?       5

--  one's digit is a 6?       6

--  one's digit is a 7?       9

--  one's digit is an 8?     4                              x

--  one's digit is a 9?       1

So the question becomes:  How many numbers smaller than 32 have a one's digit which is either a "2" or an "8"?

If  1 - sqrt(2)  is a solution, so is  1 + sqrt(2).

If  2 + sqrt(5)  is a solution, so is  2 - sqrt(5).

The factors will be:  [ x - ( 1 - sqrt(2) ) ] · [ x - ( 1 + sqrt(2) ) ] · [ x - ( 2 + sqrt(5) ) ] · [ x - ( 2 - sqrt(5) ) ] 

Multiplying out  [ x - ( 1 - sqrt(2) ) ] · [ x - ( 1 + sqrt(2) ) ]    --->   [ x² - 2x - 1 ]

Multiplying out  [ x - ( 2 + sqrt(5) ) ] · [ x - ( 2 - sqrt(5) ) ]    --->   [ x² - 4x - 1 ]

Multiplying out  [ x² - 2x - 1 ] · [ x² - 4x - 1 ]   --->   x⁴ - 6x³ + 6x² + 6x + 1

Asking how many y-intercepts does the graph of the parabola  x  =  2y² - 3y + 7 have

is equivalent to

asking how many x-intercepts does the graph of the parabola  y  =  2x² - 3x + 7 have.

Using the discriminant:  b² - 4ac  =  (-3)² - 4(2)(7)  =  9 - 56  =  -47

Since the discriminant is negative, there are no intercepts.

At first:

     Number of red marbles:  R

     Number of green marbles:  4

     Probability of drawing a red marble:  R / (R + 4)  =  x

After doubling the number of green marbles:

    Number of red marbles:  R

    Number of greeen marbles:  8

    Probability of drawing a red marble:  R / (R + 8)  =  x - 0.15

      ---   solving this equation for x:         R / (R + 8) + 0.15  =  x

Setting the two equations equal to each other: 

         R / (R + 4)  =  R / (R + 8) + 0.15 

Multiplying all terms by  (R + 4) · (R + 8)

          R · (R + 8)  =  R · (R + 4) + (0.15) · (R + 8) · (R + 4)

Multipling out:

          R² + 8R  =  R² + 4R + 0.15(R² + 12R + 32)

          R² + 8R  =  R² + 4R + 0.15R² + 1.8R + 4.8

Simplifying:

                    0  =  0.15R² - 2.2R + 4.8

Multiplying by 100:

                    0  =  15R² - 220R + 480

Dividing by 5:

                    0  =  3R² - 44R + 96

Factoring:

                    0  =  (3R + 8)(R - 12)

Answers:  either  -8/3 (impossible)  or  12

Right triangle(ABC) with C the right angle.

M is the midpoint of BC.

N is the midpoint of AC.

Let AC = 2x, making CN = x.

Let CB = 2y, making CM = y.

Consider right triangle(ACM):            Consider right triangle(BNC)"

         CM² + CA²  =  AM²                          BC² + CN²  =  BN²

            y² + (2x)²  =  19²                             (2y)² + x²  =  13²

              y² + 4x²  =  361                                4y² + x²  =  169

    y² + 4x²  =  361   --->   multiply by 4   --->    4y² + 16x²  =  1444

    4y² + x²  =  169   --->   multiply by -1  --->   -4y² -     x²  =   -169

                                                                                   15x²  =  1275

                                                                                       x²  =  85

                                                                                        x  =  sqrt(85)   --->   AC  =  2·sqrt(85)

    y² + 4x²  =  361   --->   multiply by -1   --->       y² - 4x²  =  -361

    4y² + x²  =  169   --->   multiply by 4    --->   16y² + 4x²  =  676

                                                                                   15y²  =  315

                                                                                       y²  =  21

                                                                                        y  =  sqrt(21)   --->   CB  =  2·sqrt(21)

To find AB:  AC² + CB²  =  AB²   --->   [ 2·sqrt(85) ]² + [  2·sqrt(21) ]²  =  AB²   

                                                                                               340 + 84  =  AB²

                                                                                                        424  =  AB²

                                                                                                          AB  =  sqrt(424)