geno3141

A + B + C  =  900

C  =  2A          B  =  A + 100

A + (A + 100) + (2A)  =  900

                  4A + 100  =  900

                            4A  =  800

                              A  =  200

B  =  A + 100  =  200 + 100  =  300

g(x)  =  15x² + 12x - 13

g(4)  =  15·4² + 12·4 - 13  =  275

f(x)  =  11x - 15

f( g(4) )  =  f( 275 )  =  11·275 - 15  =  ....

log_x[ x^1/2 / x ]  =  a     --->     x^1/2 / x  =  x^a 

Since x must be positive:  x^1/2 / x  =  x^-1/2  =  x^a     --->     a  =  -1/2

                                                                                --->    log_x[ x^1/2 / x ]  =  -1/2 

I'd use a calculator; it doesn't seem to have a "nice" answer.

Solve:         9^x - 2·3^x - 63  =  0

Rewrite:  (3²)^x - 2·3^x - 63  =  0

                  3^2x - 2·3^x - 63  =  0

Factor:      (3^x - 9)(3^x + 7)  =  0

Either:     3^x  =  9     --->     x  =  2

or:           3^x  =  -7    --->    (no real solution)    

(2x + 3) / (x² - 6x + 8)  =  A / (x - 2) + B / (x- 4)

Since  x² - 6x + 8  can be factored as  (x - 2)(x - 4),

multiply each term by  (x - 2)(x - 4)  to get:     2x + 3  =  A(x - 4) + B(x - 2)

                                                                        2x + 3  =  Ax - 4A + Bx - 2B

Set the x-terms equal to each other:  2x  =  Ax + Bx     --->    2x  =  (A + B)x     --->   A + B  =  2

Set the constants equal to each other:  3  =  -4A - 2B   --->   4A + 2 B  =  -3

Solve this set of two equations:     A +   B  =    2     to get your answer.

                                                     4A + 2B  =  -3  

If you had the problem       :  x² - 21x - 100  =  0

you would factor it this way:  (x - 25)(x + 4)  =  0

and the solutions are:  25,  -4

Since you have:     x⁴ - 21x² - 100  =  0

factor it as:           (x² - 25)(x² + 4)  =  0

This can be further factored as:                                            (x - 5)(x + 5)(x² + 4)  =  0

If you have complex numbers you can factor again:   (x - 5)(x + 5)(x - 2i)(x + 2i)  =  0

and the solutions are:  5,  -5,  2i,  -2i

If you don't have complex numbers, stop with:  (x - 5)(x + 5)(x² + 4)  =  0

and the solutions are:  5,  -5

1)  Rewrite  3x² + 12x + 4  into the form  a(x - h)2 + k

     3x² + 12x + 4

Separate the x-terms from the constant:  (3x² + 12x) + 4

Factor out the 3:                                        3(x² + 4x) + 4

Complete the square:                                3(x² + 4x + 4) - 12 + 4 * (see below)

Factor:                                                       3(x + 2)² - 8

Pick out a, h, and K:      a = 3     h = -2     k = -8

*Completing the square:  divide the coefficient of the x-term (4x) by 2 and square the result:

               4 / 2  =  2     --->     2² = 4

  place this number within the parentheses

  because you have entered a 4 in the parentheses and the parentheses have a '3' before it,

     you have added a '12', so you'll need to subtract a 12.

2)  x - y² + 8y  =  13

     Rearrange:                             - y² + 8y  =  13 - x

     Multiply everything by -1:          y² - 8y  =  x - 13

     Complete the squre:         y² - 8y + 16  =  x - 13 + 16

     Factor:                                      (y - 4)²  =  x + 3

     Vertex:       x = -3     y = 4

3)  Like number 2.

The line RP is steeper than the line QP, so the slope of RP must be 2.

Using the point-slope form for a line, the equation of RP  =  y - 6  =  2(x - 1)   --->   y - 6  =  2x - 2

     --->     y  =  2x + 4

     --->   when y = 0:  0  =  2x + 4   --->   -4  =  2x   --->   x  =  -2

The slope of PR is 1   --->   the equation of PR  =  y - 6  =  1(x - 1)   --->   y - 6  =  x - 1

     --->     y  =  x + 5

     --->     when y = 0:  0  =  x + 5   --->   x  =  -5

The distance from Q to R  is  3.

The base of triangle(PQR) = 3; its height = 6     --->     area  =  ½·3·6  =  9

Numerator:  10! + 9!  =  10·9! + 9!  =  10·9! + 1·9!  =  (10 + 1)·9!  =  11·9!

                      8! + 7!  =  8·7! + 7!  =  8·7! + 1·7!  =  (8 + 1)·7!  =  9·7! 

                      6! + 5!  =  6·5! + 5!  =  6·5! + 1·5!  =  (6 + 1)·5!  =  7·5! 

                      4! + 3!  =  4·3! + 3!  =  4·3! + 1·3!  =  (4 + 1)·3!  =  5·3! 

                      2! + 1!  =  2·1! + 1!  =  2·1! + 1·1!  =  (2 + 1)·1!  =  3·1! 

So, the numerator becomes:  11·9! · 9·7! · 7·5! · 5·3! · 3·1!

Denominator:  10! - 9!  =  10·9! - 9!  =  10·9! - 1·9!  =  (10 - 1)·9!  =  9·9!

Similarly:           8! - 7!  =  7·7!

                          6! - 5!  =  5·5!

                          4! - 3!  =  3·3!

                          2! - 1!  =  1·1!

The denominator becomes:  9·9! · 7·7!  · 5·5! · 3·3! · 1·1!

Start cancelling out, and you'll get the (rather surprising) short answer.