geno3141

The unique answer is  (2, -1.5).

One way to determine this answer:  (I'm going to put it into graphing form.)

2y² + 6y + 9   =  18 / (3x² - 12x + 16)

2y² + 6y         =  18 / (3x² - 12x + 16) - 9

2(y² + 3y)       =  18 / (3x² - 12x + 16) - 9

  (y² + 3y)       =  9 / (3x² - 12x + 16) - 9/2                                       (divide by 2)

y² + 3y + 9/4  =   9 / (3x² - 12x + 16) - 9/2 + 9/4                             (complete the square)

  (y + 3/2)²     =  9 / (3x² - 12x + 16) - 9/4                                        (factor; simplify)

  (y + 3/2)²     =  [ 36 - 9(3x² - 12x + 16) ]  / [ 4(3x² - 12x + 16) ]     (common denominator)

  (y + 3/2)²     =  [ 36 - 273x² + 108x - 144) ]  / [ 4(3x² - 12x + 16) ]

  (y + 3/2)²     =  [ - 27x² + 108x - 108) ]  / [ 4(3x² - 12x + 16) ]

  (y + 3/2)²     =  [ - 27(x² + 4x - 4) ]  / [ 4(3x² - 12x + 16) ]

  (y + 3/2)²     =  [ - 27(x - 2)² ]  / [ 4(3x² - 12x + 16) ]

   y + 3/2        =  +/-  sqrt( [ - 27(x - 2)² ]  / [ 4(3x² - 12x + 16) ] )

       y             =  +/-  sqrt( [ - 27(x - 2)² ]  / [ 4(3x² - 12x + 16) ] )  -  3/2

The graph of  y = 3x² - 12x + 16  has only positive values for y.

The graph of  y = -27(x - 2)²  has only negative values for y except when x = 2; then its value is zero.

Therefore, the only real value for the expression under the square root sign occurs when x = 2.

And, when x = 2, the y-value in the original equation is -1.5.

I wonder who thought up this problem!

s divided by the square root of 2 will give you the radius of the circle.

s / sqrt(2)  =  10 / sqrt(2)  =  5·sqrt(2)

The area of the (full) circle will be:  pi · [ 5·sqrt(2) ]²  =  50·pi

The area of the square = 100   

     --->   the area of the green portion  =  [ ( 50·pi ) - ( 100 ) ] / 2  =  25·pi - 50

Let  x  =  ?

Parallel lines cut off proportional segments:

x / (x + 63)  =  (65 - 35) / 35

Finish this ...

6y² - y - 51  =  (3Ay + B)(y - C)

Multiplying out:  (3Ay + B)(y - C)  =  3Ay² + By - 3ACy - BC  =  3Ay²​ + (B - 3AC)y - BC

Since  6y² - y - 51  =  3Ay²​ + (B - 3AC)y - BC

The y²-terms must be equal:  6y²  =  3Ay²​   --->   6  =  3A   --->   A  =  2

The y-terms must be equal:  -y  =  (B - 3AC)y   --->   -1  =  B - 3AC

     --->   since  A  =  2   --->   -1  =  B - 3(2)C   --->   -1  =  B - 6C

The constants must be equal:  -51  =  -BC   ---   BC  =  51

Since we are dealing only with positive integers:  B = 1     and   C = 51

                                                                        or   B =  51  and   C = 1

                                                                        or   B = 3     and   C = 17

                                                                        or   B = 17   and   C = 3

To get  B - 6C  =  -1  we can choose B to be 17 and C to be 3   --->   17 - 6(3)  =  17 - 18  =  -1

So:  A = 2   and   B = 17   and   C = 3

I'll let you finish the problem ...

Similar triangles:  10 : x  =  x : 6

If  q(x)  =  5 - x² 

then:  q(r)  =  5 - r²            (substitue 'r' for 'x')

q(r) - 5  =  (5 - r²) - 5  =  -r² 

q(r) - q(5)  =  (5 - x²) - (5 - 5²)  =   (5 - x²) - (5 - 25​)  =  (5 - x²) - (-20​) =  5 - x² + 20  =  25 - x²  

I think that something has been mis-stated.

By similar triangles:  JM : MK  =  MK : ML

JL = 25  and  JM = 5   --->   ML = 20

Substituting:  5 : MK  =  MK : 20   --->   MK²  =  5·20   --->   MK²  =  100   --->   MK  =  10

101² - 97²  =  (101 - 97)(101 + 97)  =  4·198

  93² - 89²  =  (93 - 89)(93 + 89)      =  4·182

  85² - 81²  =  (85 - 81()(85 + 81)     =  4·166

   ...

      5² - 1²  =  (5 -1)(5 + 1)               =  4·6 

Sum  =  4·198  +  4·182  +  4·166  +  ...  +  4·6  =  4·[ 198 + 182 + 166 + ... + 6 ]

198 + 182 + 166 + ... + 6  is an arithmetic series whose first term = 198, last term = 6, common difference =  -16

The formula for the sum is:  Sum  =  n · (t₁ + t_n) / 2

We'll need to find the number of terms; we can do this by using this formula:  t_n  =  t₁ + (n - 1)·d

   --->   6  =  198 + (n - 1)·-16   --->   -192  =  (n - 1)·-16   --->   12  =  n - 1   --->   n  =  13

Sum  =  n · (t₁ + t_n) / 2   --->   Sum  =  13 · (198 + 6) / 2    --->   1326

So, 4·[ 198 + 182 + 166 + ... + 6 ]  =  4·1326  =  5304

You can set up a proportion:  steps / miles  =  steps / miles

                                                  s    /    1      =   6300 /     3

If you cross=multiply, you can turn this into an equation:

                                                               3·s  =  6300·1

or:                                                            3s  =  6300