heureka

avatar
Имя пользователяheureka
Гол19376
Stats
Вопросов 11
ответы 3544

 #9
avatar+19376 
0

1)
A frog started from the origin of the coordinate plane and made three jumps.
Each time the frog jumped a distance of 5 units and landed at a point with integer coordinates.
How many different possibilities of the final position of the frog are there?

 

Startposition ( 0, 0 ):
After 1. Jump, there are 12 different positions with a distance of 5 units.
1.) ( 5, 0 )
2.) ( 4, 3 )
3.) ( 3, 4 )
4.) ( 0, 5 )
5.) ( -3, 4 )
6.) ( -4, 3 )
7.) ( -5, 0 )
8.) ( -4, -3 )
9.) ( -3, -4 )
10.) ( 0, -5 )
11.) ( 3, -4 )
12.) ( 4, -3 )

 

There are \( 12^3\) = 1728  jumps. But 264 different possibilities of the final position.

1.) (15, 0)

2.) (14, 3)

3.) (13, 4)

4.) (10, 5)

5.) (7, 4)

6.) (6, 3)

7.) (5, 0)

8.) (6, -3)

9.) (7, -4)

10.) (10, -5)

11.) (13, -4)

12.) (14, -3)

13.) (13, 6)

14.) (12, 7)

15.) (9, 8)

16.) (6, 7)

17.) (5, 6)

18.) (4, 3)

19.) (6, -1)

20.) (9, -2)

21.) (12, -1)

22.) (13, 0)

23.) (11, 8)

24.) (8, 9)

25.) (5, 8)

26.) (4, 7)

27.) (3, 4)

28.) (4, 1)

29.) (8, -1)

30.) (11, 0)

31.) (12, 1)

32.) (5, 10)

33.) (2, 9)

34.) (1, 8)

35.) (0, 5)

36.) (1, 2)

37.) (2, 1)

38.) (8, 1)

39.) (9, 2)

40.) (-1, 8)

41.) (-2, 7)

42.) (-3, 4)

43.) (-2, 1)

44.) (-1, 0)

45.) (2, -1)

46.) (6, 1)

47.) (-3, 6)

48.) (-4, 3)

49.) (-3, 0)

50.) (-2, -1)

51.) (1, -2)

52.) (4, -1)

53.) (-5, 0)

54.) (-4, -3)

55.) (-3, -4)

56.) (0, -5)

57.) (3, -4)

58.) (4, -3)

59.) (-3, -6)

60.) (-2, -7)

61.) (1, -8)

62.) (4, -7)

63.) (5, -6)

64.) (-1, -8)

65.) (2, -9)

66.) (5, -8)

67.) (6, -7)

68.) (5, -10)

69.) (8, -9)

70.) (9, -8)

71.) (11, -8)

72.) (12, -7)

73.) (13, -6)

74.) (12, 9)

75.) (11, 10)

76.) (8, 11)

77.) (4, 9)

78.) (3, 6)

79.) (5, 2)

80.) (11, 2)

81.) (12, 3)

82.) (10, 11)

83.) (7, 12)

84.) (4, 11)

85.) (3, 10)

86.) (2, 7)

87.) (7, 2)

88.) (10, 3)

89.) (11, 4)

90.) (4, 13)

91.) (1, 12)

92.) (0, 11)

93.) (1, 4)

94.) (8, 5)

95.) (-2, 11)

96.) (-3, 10)

97.) (-4, 7)

98.) (-2, 3)

99.) (5, 4)

100.) (-4, 9)

101.) (-5, 6)

102.) (-3, 2)

103.) (0, 1)

104.) (3, 2)

105.) (-6, 3)

106.) (-4, -1)

107.) (-1, -2)

108.) (3, 0)

109.) (-2, -5)

110.) (1, -6)

111.) (4, -5)

112.) (5, -4)

113.) (7, -6)

114.) (8, -5)

115.) (11, -4)

116.) (12, -3)

117.) (9, 12)

118.) (6, 13)

119.) (3, 12)

120.) (2, 11)

121.) (2, 5)

122.) (9, 4)

123.) (3, 14)

124.) (0, 13)

125.) (-1, 12)

126.) (-2, 9)

127.) (-1, 6)

128.) (6, 5)

129.) (7, 6)

130.) (-3, 12)

131.) (-4, 11)

132.) (-5, 8)

133.) (-4, 5)

134.) (0, 3)

135.) (4, 5)

136.) (-5, 10)

137.) (-6, 7)

138.) (-5, 4)

139.) (-1, 2)

140.) (2, 3)

141.) (-7, 4)

142.) (-6, 1)

143.) (1, 0)

144.) (-5, -2)

145.) (-1, -4)

146.) (2, -3)

147.) (3, -2)

148.) (3, -6)

149.) (6, -5)

150.) (9, -4)

151.) (10, -3)

152.) (11, -2)

153.) (0, 15)

154.) (-3, 14)

155.) (-4, 13)

156.) (-6, 13)

157.) (-7, 12)

158.) (-8, 9)

159.) (-7, 6)

160.) (-6, 5)

161.) (1, 6)

162.) (-8, 11)

163.) (-9, 8)

164.) (-8, 5)

165.) (-1, 4)

166.) (-10, 5)

167.) (-9, 2)

168.) (-8, 1)

169.) (-8, -1)

170.) (-7, -2)

171.) (0, -1)

172.) (-6, -3)

173.) (0, -3)

174.) (7, -2)

175.) (-9, 12)

176.) (-10, 11)

177.) (-11, 8)

178.) (-9, 4)

179.) (-2, 5)

180.) (-11, 10)

181.) (-12, 7)

182.) (-11, 4)

183.) (-10, 3)

184.) (-7, 2)

185.) (-13, 4)

186.) (-12, 1)

187.) (-11, 0)

188.) (-4, 1)

189.) (-11, -2)

190.) (-10, -3)

191.) (-7, -4)

192.) (-3, -2)

193.) (-9, -4)

194.) (-6, -5)

195.) (-2, -3)

196.) (1, -4)

197.) (5, -2)

198.) (-12, 9)

199.) (-13, 6)

200.) (-12, 3)

201.) (-11, 2)

202.) (-5, 2)

203.) (-14, 3)

204.) (-13, 0)

205.) (-12, -1)

206.) (-9, -2)

207.) (-6, -1)

208.) (-12, -3)

209.) (-11, -4)

210.) (-8, -5)

211.) (-5, -4)

212.) (-10, -5)

213.) (-7, -6)

214.) (-4, -5)

215.) (-4, -7)

216.) (-1, -6)

217.) (2, -5)

218.) (-15, 0)

219.) (-14, -3)

220.) (-13, -4)

221.) (-13, -6)

222.) (-12, -7)

223.) (-9, -8)

224.) (-6, -7)

225.) (-5, -6)

226.) (-11, -8)

227.) (-8, -9)

228.) (-5, -8)

229.) (-5, -10)

230.) (-2, -9)

231.) (2, -7)

232.) (-12, -9)

233.) (-11, -10)

234.) (-8, -11)

235.) (-4, -9)

236.) (-10, -11)

237.) (-7, -12)

238.) (-4, -11)

239.) (-3, -10)

240.) (-4, -13)

241.) (-1, -12)

242.) (0, -11)

243.) (2, -11)

244.) (3, -10)

245.) (4, -9)

246.) (-9, -12)

247.) (-6, -13)

248.) (-3, -12)

249.) (-2, -11)

250.) (-3, -14)

251.) (0, -13)

252.) (1, -12)

253.) (3, -12)

254.) (4, -11)

255.) (0, -15)

256.) (3, -14)

257.) (4, -13)

258.) (6, -13)

259.) (7, -12)

260.) (8, -11)

261.) (9, -12)

262.) (10, -11)

263.) (11, -10)

264.) (12, -9)

 

 

laugh

heureka 4 hours ago
 #1
avatar+19376 
+2

Let F(x) be the real-valued function defined for all real x except for x = 0 and x = 1 and satisfying

the functional equation

\(F(x) + F\left(\frac{x-1}x\right) = 1+x.\)

F(x) + F\left(\frac{x-1}x\right) = 1+x.

Find the F(x) satisfying these conditions.

Write F(x) as a rational function with expanded polynomials in the numerator and denominator.

 

\(\begin{array}{|lrclcl|} \hline & F(x) + F\left(\frac{x-1}x\right) &=& 1+x \qquad (1) \\\\ \text{Set in (1) }x=\frac{x-1}{x}: & F\left(\frac{x-1}x\right) + F\left(\frac1{1-x}\right) &=& 1+\frac{x-1}{x} \qquad (2) \\\\ \text{Set in (1) }x=\frac1{1-x}: & F\left(\frac1{1-x}\right) + F(x) &=& 1+\frac1{1-x} \qquad (3) \\\\ \hline \\ (1) - (2) + (3): & F(x) + F\left(\frac{x-1}x\right) \\ & - \Big(F\left(\frac{x-1}x\right) + F\left(\frac1{1-x}\right) \Big) \\ & + F\left(\frac1{1-x}\right) + F(x) &=& 1+x -(1+\frac{x-1}{x}) + 1+\frac1{1-x} \\\\ & F(x) + F\left(\frac{x-1}x\right) \\ & -F\left(\frac{x-1}x\right) - F\left(\frac1{1-x}\right) \\ & + F\left(\frac1{1-x}\right) + F(x) &=& 1+x -(1+\frac{x-1}{x}) + 1+\frac1{1-x} \\\\ & 2F(x) &=& 1+x -(1+\frac{x-1}{x}) + 1+\frac1{1-x} \\ & 2F(x) &=& 1+x -1-\frac{x-1}{x} + 1+\frac1{1-x} \\ & 2F(x) &=& 1+x -\frac{x-1}{x} +\frac1{1-x} \\ & 2F(x) &=& 1+x +\frac{1-x}{x} +\frac1{1-x} \\\\ & 2F(x) &=& \dfrac{(1+x)x(1-x)+(1-x)^2+x}{x(1-x)} \\\\ & 2F(x) &=& \dfrac{(1-x^2)x+1-2x+x^2+x}{x(1-x)} \\\\ & 2F(x) &=& \dfrac{(1-x^2)x+1-x+x^2}{x(1-x)} \\\\ & 2F(x) &=& \dfrac{ x-x^3 +1-x+x^2}{x(1-x)} \\\\ & 2F(x) &=& \dfrac{ 1+x^2-x^3}{x(1-x)} \\\\ & F(x) &=& \dfrac{ 1+x^2-x^3}{2x(1-x)} \\\\ & \mathbf{F(x)} & \mathbf{=} & \mathbf{\dfrac{ 1+x^2-x^3}{2x - 2x^2}} \\ \hline \end{array}\)

 

graph:

 

laugh

heureka 23.05.2018
 #4
avatar+19376 
+1

Use logarithmic differentation to find the derivative of the function.

\(y=\sqrt{x}{e}^{({x}^{2})}({{x}^{2}+1})^{10}\)

y=\sqrt{x}{e}^{(x^2)}(x^2+1)^{10}

Anyone who knows how to solve for the answer and can write down the steps?

 

Formula

\(\begin{array}{|rclcl|} \hline \left(~\ln f(x)~ \right)' = \dfrac{f'(x)}{f(x)} \\ \hline \end{array} \)

 

1. logarithm of both sides

\(\begin{array}{|rcll|} \hline y &=& \sqrt{x}{e}^{(x^2)}(x^2+1)^{10} \quad & | \quad \text{$\ln()$ both sides} \\ \ln(y) &=& \ln(\sqrt{x})+\ln({e}^{(x^2)}) + \ln( (x^2+1)^{10} ) \\ \ln(y) &=& \ln(x^{\frac12})+\ln({e}^{(x^2)}) + \ln( (x^2+1)^{10} ) \quad & | \quad \text{Formula: $\ln(a^b) = b\ln(a) $} \\ \ln(y) &=& \frac12\ln(x)+x^2\ln(e) + 10\ln(x^2+1) \quad & | \quad \text{Formula: $\ln(e) = 1 $} \\ \ln(y) &=& \frac12\ln(x)+x^2 + 10\ln(x^2+1) \\ \hline \end{array}\)

 

2. derivation of both sides

\(\begin{array}{|rcll|} \hline \ln(y) &=& \frac12\ln(x)+x^2 + 10\ln(x^2+1) \quad & | \quad \text{derivate both sides} \\ \Big(\ln(y)\Big)' &=& \left(\frac12\ln(x) \right)' + \left(x^2 \right)' + \left(10\ln(x^2+1) \right)' \\\\ \dfrac{y'}{y} &=& \frac12\cdot \frac1x + 2x + 10\cdot \frac{2x}{x^2+1} \\\\ \dfrac{y'}{y} &=& \frac{1}{2x} + 2x + \frac{20x}{x^2+1} \quad & | \quad \cdot y \\\\ y' &=& y\cdot \left( \frac{1}{2x} + 2x + \frac{20x}{x^2+1} \right) \quad & | \quad y = \sqrt{x}e^{(x^2)}(x^2+1)^{10} \\\\ y' &=& \sqrt{x}e^{(x^2)}(x^2+1)^{10} \cdot \left( \frac{1}{2x} + 2x + \frac{20x}{x^2+1} \right) \\\\ y' &=& x^{\frac12}e^{(x^2)}(x^2+1)^{10} \cdot \left( \frac{1}{2x} + 2x + \frac{20x}{x^2+1} \right) \\\\ y' &=& \frac{ x^{\frac12}{e}^{(x^2)}(x^2+1)^{10} }{2x} + x^{\frac12}e^{(x^2)}(x^2+1)^{10} \cdot 2x \\ &+& x^{\frac12}e^{(x^2)}(x^2+1)^{10} \cdot \frac{20x}{x^2+1} \\\\ y' &=& \frac{ e^{(x^2)}(x^2+1)^{10} }{2x^{1-\frac12}} + 2{e}^{(x^2)}x^{\frac12+1}(x^2+1)^{10}\\ &+& 20e^{(x^2)} x^{\frac12+1}(x^2+1)^{10} \cdot \frac{1}{(x^2+1)^1} \\\\ y' &=& \frac{ e^{(x^2)}(x^2+1)^{10} }{2x^{\frac12}} + 2{e}^{(x^2)}x^{\frac32}(x^2+1)^{10}\\ &+& 20e^{(x^2)} x^{\frac32}(x^2+1)^{10-1} \\\\ y' &=& \frac{ e^{(x^2)}(x^2+1)^{10} }{2\sqrt{x}} + 2{e}^{(x^2)}x^{\frac32}(x^2+1)^{10}\\ &+& 20e^{(x^2)} x^{\frac32}(x^2+1)^{9} \\ \hline \end{array} \)

 

\(\begin{array}{rcll} \mathbf{ y' } & \mathbf{=} & \mathbf{ \dfrac{ e^{(x^2)}(x^2+1)^{10} }{2\sqrt{x}} + 2{e}^{(x^2)}x^{\frac32}(x^2+1)^{10} + 20e^{(x^2)} x^{\frac32}(x^2+1)^{9} } \\ \end{array} \)

 

laugh

heureka 23.05.2018
 #3
avatar+19376 
+2

Jenny's grandmother has 24 cats.

Seventeen of the cats do not catch mice.

Ten of the cats have black fur.

What is the smallest possible number of cats that do not catch mice that have black fur?

 

\(\large{1.} \\ \begin{array}{r|r|r|r} & \text{mice} & \overline{\text{mice}} \\ \hline \text{black fur} & & x & \color{red} 10 \\ \hline \overline{\text{black fur}} & & & \small{24-10} \\ \hline & \small{24-17}& \color{red}17 & \color{red}24 \\ \end{array}\)

 

\(\large{2.} \\ \begin{array}{r|r|r|r} & \text{mice} & \overline{\text{mice}} \\ \hline \text{black fur} & \small{10-x } & x & 10 \\ \hline \overline{\text{black fur}} & \small{7-(10-x) =} & \small{17-x} & 14 \\ & \small{x-3 } & & \\ \hline & 7 & 17 & 24 \\ \end{array} \)

 

\(\large{3.} \\ \begin{array}{r|r|r|r} & \text{mice} & \overline{\text{mice}} \\ \hline \text{black fur} & \small{10-x } & x & 10 \\ & \small{\text{min: } 10-x=0 } & & \\ & \Rightarrow x_{min} = \color{red}10 & & \\ \hline \overline{\text{black fur}} & \small{x-3 } & \small{17-x} & 14 \\ & \small{\text{min: } x-3=0} & \small{\text{min: } 17-x=0 } & \\ & \Rightarrow x_{min} = \color{red}3 & \Rightarrow x_{min} = \color{red}17 \\ \hline & 7 & 17 & 24 \\ \end{array}\)

 

\(\large{4.} \\ \begin{array}{r|r|r|r} & \text{mice} & \overline{\text{mice}} \\ \hline \text{black fur} & \small{10-x } & x & 10 \\ & \Rightarrow x_{min} = \color{red}10 & = min({\color{red}10},{\color{red}3},{\color{red}17}) & \\ & & = 3 & \\ \hline \overline{\text{black fur}} & \small{x-3 } & \small{17-x} & 14 \\ & \Rightarrow x_{min} = \color{red}3 & \Rightarrow x_{min} = \color{red}17 \\ \hline & 7 & 17 & 24 \\ \end{array} \)

 

\(\large{5.} \\ \begin{array}{r|r|r|r} & \text{mice} & \overline{\text{mice}} \\ \hline \text{black fur} & \small{7 } & \color{red}3 & 10 \\ \hline \overline{\text{black fur}} & \small{0 } & \small{14} & 14 \\ \hline & 7 & 17 & 24 \\ \end{array}\)

 

laugh

heureka 17.05.2018