Wasserbecken
Ein halbkugelförmiges Wasserbecken hat einen Durchmesser
von 10m. Es wird mit Wasser bis zu einer Höhe von 4,70m gefüllt. Es fließen 80 Liter pro Minute in das Becken.
a) Leiten Sie die Formel zur Berechnung des Volumens her.
b) Wie lange dauert es, das Becken bis zur Höhe von 4,70m zu füllen?
Guten Morgen Omi67!
Ich beginne die Lösung der Frage noch einmal. Ich werde die Lösung abschnittweise veröffentlichen, um damit das Malheur mit dem plötzlich leeren Monitor zu umgehen.
Antwort
a)
Ein Schnitt durch das halbkugelförmige Wasserbecken wird durch einen Halbkreis mit dem
Radius r = 5 in den Quadranten I und IV des rechtwinklichen Koordinatensystems dargestellt. Die Wasseroberfläche ist die vertikal liegende Kreissehne bei x = 0,3. Die Längeneinheit sei Meter (m).
Im Quadranten I ist vom Koordinatenursprung aus ein Radius einzuzeichnen. Vom Berührungspunkt
Radius / Halbkreis fällen wir das Lot auf die Abszissenachse.
Es entsteht das rechtwinkliche Dreieck mit der Hypotenuse r und den Katheten x und \(\rho\) .
\(r^2=x^2+\rho^2\\ \rho=\sqrt{r^2-x^2}\\ \color{blue} \rho=(r^2-x^2)^{\frac{1}{2}}\)
Ein Kreis mit dem Radius \(\rho\) hat die Fläche
\(F=\pi\rho^2\\ F(x)=\pi\times [(r^2-x^2)^{\frac{1}{2}}]^2\\ F(x)=\pi (r^2-x^2)\\ r=5\ eingesetzt\\ \color{blue}F(x)=\pi (25-x^2)\)
Das Volumen des eingefüllten Wassers ist
\(V=\int_{5-4,7}^{5} \! \ F(x) \, dx \\ V=\int_{0,3}^{5} \! \ \pi (25-x^2) \, dx \\ V=\pi \times\int_{0,3}^{5} \! \ (25-x^2) \, dx \\\)
\(V=\pi\times [25x-\frac{x^3}{3}]^5_{0,3}\)
\(V=\pi\times [(25\cdot5-\frac{5^3}{3})-(25\cdot0,3-\frac{0,3^3}{3})]\\ V=\pi\times (83,3\overline3-7,491)\\ V=\pi\times 75,842\)
\(\large V=238,266\ m^3\)
b)
\(Volumen=Volumenstrom\times Zeit\\ V=\dot V\times t\\ t=\frac{V}{\dot V}\)
\(V=238,266\ m^3\\ \dot V=80\frac{l}{min}\times\frac{m^3}{1000l}\\ \dot V = 0,08\frac{m^3}{min}\)
Die zum Füllen des Beckens benötigte Zeit ist
\(t=\frac{V}{\dot V}\\ t=\frac{238,266\ m^3}{0,08\frac{m^3}{min}}\\ t=2978,321min\\ \)
\(\large t=49h\ 38min\ 19,3sec\)
LG von
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