Für welche \(k\in G\) wird der Wert des Terms \(T(k)=-3k^2-22k-32 \) maximal? Bestimme den maximalen Wert des Terms.
Hallo Mathefreund!
Der Scheitelpunkt der quadratischen Funktion ist
\(S(u;v)\\ u =-\frac{b}{2a}=-\frac{-22}{2\cdot (-3)}=-3,6\overline 6\\ v=c-\frac{b^2}{4a}=-32-\frac{(-22)^2}{4\cdot (-3)}=8,3\overline 3\\ {\color{blue}S(-3,6\overline 6;8,3\overline 3)}\ \color{BrickRed}bitte\ nachpr\ddot ufen\)
Der maximale Wert des Terms \(T(k)\) ist der v-Wert (= y-Wert) im Scheitelpunkt, also
\(T(k=-3,6\overline 6)=8,3\overline3\) .
Die Nullstellen
\(T(k)=-3k^2-22k-32 \)
\(k = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\\ k = {22 \pm \sqrt{22^2-4\cdot (-3)\cdot (-32)} \over 2\cdot (-3)}\\ k = \frac{22\pm\sqrt{100}}{-6}\\ k =\frac{22\pm10}{-6}\)
\(k_1=-\frac{16}{3}=-5,3\overline3\\ k_2=-2\)
\(k\in \mathbb{Q}\)
Das Maximum lässt sich auch errechnen, indem man die erste Ableitung der Funktion gleich Null setzt und die Unbekannte k ermittelt. (Ich weiß nicht, ob du das schon drauf hast, aber du kannst es ja mal ansehen.
\(T(k)=-3k^2-22k-32\\ \frac{T(k)}{dk}=-6k-22\\ -6k-22=0\\ \color{blue}k_{extr}=-\frac{22}{6}\\ T(k_{extr})=-3\cdot (-\frac{22}{6})^2-22\cdot (-\frac{22}{6})-32=\frac{25}{3}\\ \color{blue}T(k_{extr})=8,3\overline3\)
Das ist die Stelle eines Extremums (Man weiß noch nicht ob Maximum oder Minimum.)
\(T(k_{extr})>0\)
Es gibt zwei Stellen mit dem Funktionswert Null, die Nullstellen.
Infolge dessen handelt es sich bei einer Parabel um ein Maximum.
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