Bosco

In right triangle $BCD$ with $\angle D = 90^\circ$, we have $BC = 10$ and $BD = 8$.  Find $\sin B$.     

     sin(B) = 0.6000     

D is the right angle.  So BD and CD are the legs and BC is the hypotenuse.     

Note that this is a right triangle where one leg is 8 and the hypotenuse is 10.     

We immediately recognize a Pythagoras Triplet and the other leg must be 6.     

The sine is the opposite over the hypotenuse, so sin(B) = 6 / 10.     

_.     

Find the value of $h$ such that the quadratic equation $7x^2 + 5x = h + 6x^2 + 3x$ has exactly one real solution in $x$.     

                                                             7x² + 5x  =  h + 6x² + 3x     

Combine like terms and     

arrange as ax² + bx + c = 0                  x² + 2x + (–h)  =  0     

For the equation to have only one solution, the discriminant must equal zero.     

                                                             b² – 4ac  =  0     

                                                             2² – (4)(1)(–h)  =  0     

                                                             4  + 4h  =  0     

                                                             4  =  – 4h     

                                                             h  =  – 1     

Check answer by substituting for h in the original equation     

                                                             7x² + 5x  =  h + 6x² + 3x     

                                                             7x² + 5x  =  – 1 + 6x² + 3x     

                                                               x² + 2x + 1  =  0     

                                     This factors to   (x + 1)²  =  0     

                                 which means that            x  =  – 1     

So the proposition that the equation has a single root is confirmed.     

_.     

I choose a random integer $n$ between $1$ and $10$ inclusive. What is the probability that for the $n$ I chose, there exist no real solutions to the equation $x^2 - 8x + n = 0$? Express your answer as a common fraction.     

The quadratic will have no real solutions when (b² – 4ac) < 0  (i.e., 4ac is more than b²)     

None of the integers between 1 and 10 inclusive will do it.     The probability is 0 (zero).     

None of the intefers 11 through 16 will do it, either.  The first integer that will do it is 17.     

_.     

Alex chooses a number at random from the set \{1, 2, 3, \dots, 5\}. Winnie also chooses a number at random from the same set. (They can choose the same number.) What is the probability that the product of their numbers is even?     

Alex has 5 to choose from, and Winnie has the same.    

Together, there are 25 possible "hands" they could hold.     

Any hand that has a 2 or a 4 in it, the product will always be even.     

The only way a hand can be odd is if two odd numbers are multiplied.    

The only odd hands can be 1,3   1,5   3,1   3,5   5,1  or  5,3     

That leaves the other 19 hands that will be even.     

Therefore the probability is 19 / 25 or in decimal notation 76%     

_.     

Find a six-digit multiple of $64$ that consists only of the digits $2$ and $4$.     

          64 x 3,816 = 244,224     

_.     

Find the value of x to the nearest tenth     

     cotangent = adjacent / opposite     

     cotan(39)  =  x / 14     

     1.235  =  x / 14     

            x  =  14 • 1.235     

            x  =  17.29  rounded to tenth  17.3     

_.     

Find the smallest number by which 7203 must be multiplied so as to get a perfect square.​     

The factors of 7203 are 3 • 7 • 7 • 7 • 7.     

There is an even number of sevens, so

that's okay, but you need another three.     

Multiply by 3 to obtain a perfect square.     

check the answer:     7203 • 3 = 21609     

                                  sqrt(21609) = 147     

_.     

A 20-foot wire connects the top of a utility pole to a point on the ground located 10 feet away from the base of the pole. What is the height of the pole? (Round to the nearest tenth.)     

by Pythagoras' Theorem              a² + b²  =  c²     

therefore                                       b²  =  c² – a²     (b is the pole)

                                                     b²  =  20² – 10²     

                                                     b²  =  400 – 100     

                                                     b¹  =  sqrt(300)     

                                                     b¹  =  17.3     

Another way would be to use cosine to find the larger acute angle,      

and then use tangent to find the height of the pole.     

_.     

Let f(x) = sqrt{x - sqrt{x}}.  Find the largest three-digit value of x such that f(x) is an integer.     

I don't know what those backslants were for, so I just removed them.     

First, x has to be a perfect square. 

Then x minus its own square root has to be a perfect square.     

There is no answer that satisfies these conditions.     

3-digit perfect square    x minus its own square root    is this a perfect square     

          961                                     930                                        No     

          900                                     870                                        No     

          841                                     812                                        No     

          784                                     756                                        No     

          676                                     650                                        No     

          625                                     600                                        No     

          576                                     552                                        No     

          529                                     506                                        No     

          484                                     462                                        No     

          441                                     420                                        No     

          400                                     380                                        No     

          361                                     342                                        No     

          324                                     306                                        No     

          289                                     272                                        No     

          256                                     240                                        No     

          225                                     210                                        No     

          196                                     182                                        No     

          169                                     156                                        No     

          144                                     132                                        No     

          121                                     110                                        No     

          100                                       90                                        No     

_.