CPhill

OK..post them...I'll see what I can help with....this is a little confusing  !!

However...if you are just concerned with the correct remainder....we don't have to worry about the residual polynomial.....are you just being asked for the remainder  ???

cos2x / (cosx - sinx) = cosx + sinx 

Note that cos 2x  =  cos^2x  - sin^2 x....= (cos x - sin x) (cos x + sinx ).....so we have

(cos^2x - sin^2x )  / ( cosx - sin x)

(cosx + sin x) (cos x - sin x)  / (cos x - sin x )        divide out the  (cosx - sinx)

cos x + sin x  =    the right hand side

This type is a little tricky, RP......

When the divisor  is in the linear form    ax + b     [ or  ma + b, in this case ....since  "a" is the variable ] we need to be careful about the residual polynomial...the remainder will be correct, however

Set  6a + 8  = 0   ⇒   a  =  -4/3....this is what we need to divide by

-4/3  [ 6     - 4   - 76       - 44    - 6      - 63   ]

                 -8      16         80     -48       72   

       _______________________________

         6    -12     - 60        36    -54         9

The correct remainder is 9

Here is where synthetic division fails to produce the correct residual polynomial.....the resulting polynomial  appears  to be :

6a^4 - 12 a^3  - 60a^2  + 36a  -  54

However....note that if we  performed the "normal" polynomial division....the first term would be......a^4

                 a^4

6a + 8   [ 6a^5

              -(6a^5)   ......

So...this means that we need to divide every co-efficient of the apparent residual polynomial by 6  to get the correct answer

So...the residual polynomial is

a^4  - 2a^3  - 10a^2  + 6a  - 9  R [ 9/ (6a + 8) ] 

Do you see this  ??

Let x be one number and y the second

We have

x /  y  = 5 / 8      multiply through by  y

x  = (5/8)y      (1)

Also

(x + 2) / ( y + 2)    =  2/3    cross-multiply

3(x + 2)  = 2(y + 2)     simplify

3x + 6   = 2y + 4         sub (1) in for x

3(5/8 * y) + 6  =  2y + 4   simplify

(15/8 ) y  + 6   = 2y  + 4       subtract 4, (15/8)y  from both sides

2  = (1/8)  y     multiply through by 8

16  = y      and x  = (5/8((16)   =  10

Note that 15  members will paint 3 times as fast as 5  members

So....15 members will paint the wall in 1/3  of the time as 5 members  =  (1/3)* 27  = 9 minutes

Using polynomial division

            n^3   -7n^2  + 6n  + 4

n + 1  [ n^4  - 6n^3  - n^2  + 10n  + 6   ]

           -(n^4 + n^3)

          __________________________

                      -7n^3  - n^2

                    - (-7n^3 - 7n^2 )

                  ______________________

                                  6n^2  + 10n

                               -( 6n^2  + 6n)

                                ________________

                                               4n  + 6

                                             -(4n + 4)

                                           _________

                                                          2

The residual polynomial  is  n^3  - 7n^2  + 6n  + 4  R [  2 / (n + 1) ]           

                   n^3     - 8n^2    + 6n     + 9

10n + 2  [ 10n^4   - 78n^3   + 44n^2   + 102n  + 26  ]

                -(10n^4 + 2n^3)

                _________________________________

                              -80n^3  + 44n^2

                           -( -80n^3  - 16n^2)

                           ____________________________

                                             60n^2  + 102n

                                           -(60n^2 + 12n)

                                           ____________________

                                                             90n   + 26

                                                            -(90n + 18)

                                                             _________

                                                                           8

n^3  - 8n^2  +  6n  + 9    R  [ 8 / (10n + 2) ]

The first one is made a ittle easier by factoring a 2  out  of (2x + 2)  = 2(x + 1)

Now....divide each coefficient of the dividend by 2   and we get

x^5 - 3x^4  - 8x^3 - 3x^2  + 10x + 10

And we are dividing this by  (x + 1)....so we have

              x^4  -4x^3 -4x^2  + 1x  + 9

x + 1  [  x^5  - 3x^4  - 8x^3  - 3x^2  + 10x  + 10 ] 

           -(x^4 + 1x^4)

          __________________________________

                      -4x^4 - 8x^3

                    -(-4x^4 - 4x^3)

                   ______________________________

                                 -4x^3  - 3x^2

                               -(-4x^3 -4x^2)

                              ________________________

                                             1x^2   + 10x

                                            -(1x^2 + 1x)

                                             ________________

                                                           9x   + 10 

                                                         -(9x  + 9)

                                                        ________

                                                                     1

The residual polynomial  is   x^4  -4x^3 -4x^2  + 1x  + 9  R [1/ (x + 1) ]

                   x^3    +    9x^2       -2x         + 7

10x - 4   [   10x^4    + 86x^3    - 56x^2   +  78x   -  31 ]

                 -(10x^4  -   4x^3)

                ____________________________________

                                  90x^3   - 56x^2

                               -( 90x^3  - 36x^2)

                              _____________________________

                                              -20x^2  +  78x

                                            -(-20x^2  +   8x)

                                           ________________________

                                                              70x    - 31

                                                           -(70x -   28)

                                                          _________________

                                                                      - 3

So....the residual polynomial is   x^3  +  9x^2  - 2x   + 7   R  [ -3 / ( 10x - 4)) ]

                  6x^3   + 5x^2    + 9x   + 4

2x + 8  [  12x^4  + 58x^3 + 58x^2 + 80x  + 41 ]

              -(12x^4 + 48x^3)

              ______________________________

                            10x^3  + 58x^2

                           -(10x^3  + 40x^2)

                          ______________________

                                         18x^2  +  80x

                                       -(18x^2 +  72x)

                                       ________________

                                                      8x   + 41

                                                    -(8x +  32)

                                                   ___________

                                                                9

The residual polynomial is    6x^3  + 5x^2  + 9x  + 4  R [ 9  / ( 2x + 8) ]

OK

Polynomial division....the idea is  to multiply the  "n"  of the divisor by a term that will "match" the first term 

For instance.....we want to multiply  "n"  by 9n^4   to match the first term , 9n^5

We just keep carrying this idea through each time

For the second term....we want to multiply "n"  by  -2n^3  to "match"  -2n^4.....etc...... 

                9n^4   - 2n^3      + 10n^2   +  n   + 6

(n + 9)  [  9n^5   + 79n^4    - 8n^3   + 91n^2  + 15n  +  46  ]

            -(  9n^5  + 81n^4 )

               _________________________________________

                           -2n^4     - 8n^3

                        - (-2n^4   - 18n^3)

                       _____________________________________

                                          10n^3  +  91n^2

                                         -(10n^3 + 90n^2)

                                        ____________________________

                                                          n^2   +  15n

                                                     -(   n^2  +     9n)

                                                     ______________________

                                                                        6n  + 46

                                                                  -( -  6n  + 54)

                                                                  ____________

                                                                                -8

So....the result  is   9n^4  - 2n^3  + 10n^2  + n  + 6   R [ -8 / (n + 9)  ]

Synthetic is usually  much faster....we  want to divide by  the thing that  makes (n + 9)  = 0....this is  - 9

So we have

-9 [ 9     79     -  8    91   15    46   ]

             -81    18    -90   -9    -54

    _________________________

     9      -2     10       1     6     -8

The residual polynomial is  9n^4 - 2n^3 + 10n^2 + 1n  +  6    R [ -8 / ( n + 9) ]...just as we found before !!!

Here's a good primer on polynomial diivsion : 

http://www.mesacc.edu/~scotz47781/mat120/notes/divide_poly/long_division/long_division.html

Here's a good primer on synthetic division : http://mesacc.edu/~scotz47781/mat120/notes/divide_poly/synthetic/synthetic_division.html