CPhill

Very nice, Melody   !!!!

I  think  that  this is    

4 sin  x   - 1   =   0      add 1 to both sides

4sin x  =  1                 divide both sides by 4

sin x   = 1 / 4             take the  arcsin

arcsin ( 1/4)  = x  ≈  14.48°  +  n*360°

And      x  =    165.52°  + n*360°        where n is an  integer in  both cases

Let  the speed of the slower train =  R

Let the rate of  the  faster train  = R + 10

Let the whole distance =  D

Then  in the first situation :

The time it  takes  the faster train to cover  the whole distance  plus  1 hour  = 

The  time it takes  the slower train to cover  the whole distance  - 160 km 

And in the second situation :

The time it  takes  the faster train to cover  the whole distance  plus  2 hours  = 

The  time it takes  the slower train to cover  the whole distance  - 160 km 

So  we  have this system

   D / (R +10) - 1    =   ( D - 160) /  R  

  D / (R + 10)  - 2  =  (D -120)  /  R

Solving this for  D , R     we get  that   

D  = 1000km   

 R  = 40 km/hr   

R + 10  = 50 km/hr  = the rate of the faster  train

I believe  the  "formula"  for   determining this is given by :

C ( n , 4)      where n  = the  number of points on the circle

So

C (10 , 4)    =  210

All  the  integers  from  600  - 699  contain at least one 6 =  100  numbers

In every  100  except  from 600 - 699     we  will  have

10 numbers  containing  at at least one  6 from   _60  to _69  =  7 (10) = 70 numbers

9(7)  = 63  more numbers   that have an ending  digit of  6

So

100  +   70   +  63   =   

233  numbers contain at least one 6

X     13.8      Y           Z

             21

YZ  =  XZ  -  XY   =  21  -  13.8    =    7.2

This is a  circle  centered  at  (2, -1)  with a  radius  of 2

The  side^2, S^2,  of the  triangle   can be found as

S^2 =  2^2  + 2^2  - 2 ( 2 * 2) cos (120 degrees)

S^2  = 8  -  8 (-1/2)

S^2  =  8  + 4  =  12

The area of this triangle    =

(1/2) S^2  sin (60 degrees)   =

(1/2) 12 * sqrt (3)  / 2   =

6 sqrt (3)   / 2  =     3 sqrt (3)  / 1

a +  b +  c  =     3  +  3  +  1   =    7

Nice, TA  !!!

We can use  the secant  -secant theorem

PD   = PC  - CD   = 15  - 7   =  8

We  have  that

PB ( PB + PA)    = PD ( PD + DC)

PB ( PB  + BA)   = 8 ( 8 + 7)

PB (  PA)  =  8  ( 15)

PB  (12)     =120

PB =  120  /  12    = 10

So

AB  =   PA  - PB  =   12  -   10    =  2

Note that TU  = SW

So

WV  =  sqrt (SV^2  - SW^2)    =    sqrt (20^2    -  39)

So....you should be able to  finish it  now