CPhill

Paul had 3/4 as many toys as Clay. When Clay gave half of his toys to Paul, he had 24 fewer toys than his friend. How many toys did Clay have at first?

Call the number  that  Clay  had at first  =  N

Then Paul had  (3/4)N

After  Caly  gave  half of  his  toys to  Clay....Clay  has  N /2    and  Paul  has (3/4)N + N/2

And  Paul  has 24  more  than  Clay....so....

N/2  +  24   =  (3/4)N + N/2             simplify      (subtract N/2 from both sides)

24  = (3/4)N

24 (4/3)   =  N  =   32 = the  number that Clay had at first

Let Oliver's markers  =  N

Then  Marcos's  markers =  .80N

So

N  + .80N =  324        simplify

1.80N  = 324                divide both sides by  1.80

N  =    324 / 1.80   =   180 =  Oliver's  markers

.80 ( 180)  =   144  =  Marcos's  markers

Oliver  has   180  -  144   =  36  more

Suppose  Kevin  has  N  syamps  and  Ronnie  has N + 20  stamps

So  after  the  trade

Ronnie   -   Kevin    =

( N + 20 + 1)  -  ( N  - 1)  =

20  + 1  - (-1)   =  20  + 2   =    22

Kevin   had  22  more stamps  

Nothing  shown......

a +  1/b    =     (ba  + 1) / b

b + 1/a    =     (ba + 1)  / a

By Vieta

The  sum  of  the roots =  p   =      a(ba + 1)  + b (ba + 1)           (ab + 1) (a + b)

                                                       __________________  =     ____________

                                                                    ab                                    ab

The product of  the roots    = q  =    (ab + 1)^2  / ab

                       (ab + 1) ( a + b)             a + b

 p/q  =           _______________  =  ________     

                        (ab + 1)^2                   ab  +  1

14  *  5   =   $70

See  here  :    https://web2.0calc.com/questions/geometry-xi

Here is  a similar problem ....only PQ  is  a little  different    :

https://web2.0calc.com/questions/geometryyyyy-4

Bisect CD  at  M

MD  =   8

Draw   OM  =  BA   =   12

We  have  right triangle  DOM   where  OD  =  the  radius of the circle   and  hypotenuse of DOM

Using  the  Pythagorean Theorem

OD   =sqrt  ( OM^2  + MD^2 )  =  sqrt  ( 12^2  +  8^2)  =  sqrt ( 144  + 64)  = sqrt  (208)   = 4sqrt (13)  = the  radius

Note  that  we  can  write  this  as  :

               1

x   =    _______                multiply  both  sides  by     3 - x

              3 -  x 

x ( 3 - x)   =  1               simplify

3x - x^2   =   1              rearrange  as

x^2  - 3x  +  1    =      0        complete  the  square on  x

x^2  - 3x  +  9/4    =    -1   + 9/4

( x - 3/2)^2   =    5/4          take  both roots

x  -3/2  =   ± sqrt (5)  / 2

x =  ±sqrt (5)/ 2   +  3/2       

x =  sqrt (3) /2   +  5/2        this  value of  x  makes  the  continued fraction  negative.....reject

x =  -sqrt (5)  / 2  +  3/2  =        [3  - sqrt 5]  /  2