CPhill

Very nice  , amy   !!!!

Let  the  point  be     (   x , 0)

Using  the  square of the  distance  formula

( x -  -2)^2    +   (4 - 0)^2  =   ( 0  - x)^2   +  (18  -  0 )^2      simplify

x^2  + 4x  + 4   +  16    = x^2  +  324

4x  + 20   =   324

4x   =   324  -  20

4x  =  304

x  =  76

The point  is  (76,  0  )

Somehow,   we start  with   Bryan  and Harold  and  end up  with   Kaden  and  John   ?????

                       A  =  15

        5sqrt 2

B =  45                                          C

Angle  C   = 180  -   45  -15   =    120

So....using the Law of Sines

AC   /sin 45   =  AB  /  sin 120

AC  / ( 1/ sqrt 2)  =  5 sqrt 2   /  ( sqrt (3)  / 2)

AC  =   (5 sqrt 2  )  ( 1 /sqrt 2)  / ( sqrt  (3)  / 2)

AC  =  5 * 2  /  sqrt 3

AC =   10  /sqrt 3    =     (10/3)sqrt (3)

                    A

         P  116

B                                       C

Since  APC   = 116

Then  BPC  =   180   -  116 =    64

And CP  =  BC

So  angle  PBC  = angle BPC   =  64

And  since  AB   = AC

Then  angle  ABC  =  angle  PBC  =  angle   ACB  = 64

And  angle  PCB    =   180  -  2 (64)  =   180  -  128  =  52

So 

ACP =   ACB  -  PCB   =    64   -   52   =    12°

THX,  civonamzuk for  spotting  my  earlier error   !!!!!

N  / H   =  1   / 3    ⇒     N =  (1/3)H         (1)

And

( N + 4)  / ( H  + 3)   =     1   /  2            (2)

Sub   (1)  into (2)  for  N

[ (1/3)H  + 4  ]  / ( H + 3 )    =    1   / 2                   cross-multiply

2 [  (1/3) H  + 4 ]    =   H +  3

(2/3)H   +  8   =   H  +  3

8  - 3    =  H  -   (2/3) H

5  =   (1/3) H

H  =  5 (3/1)  =   15

In the end  Hannah  had    H + 3    =   18 apples

Intersecting Chord Theorem

AQ * BQ  =  CQ  *  DQ

16  *  12   =  CQ  ( 36   -  CQ)

192   =  36CQ   -  CQ^2        rearrange  as

CQ^2   -  36CQ    +  192     =   0         complete  the  square on CQ

CQ^2   - 36CQ    =  -192

CQ^2   -  36CQ   +  324    =   -192  +  324

(CQ   -  18)^2   =   132    take  the negative root

CQ -  18  =  -sqrt (132)

CQ  -  18  =  -2sqrt 33

CQ =  18  -  2sqrt (33)  ≈     6.51 =    min length of CQ

EDIT   TO   CORRECT   A  PREVIOUS   ERROR    !!!!!

Let  the  roots  =  x, y, z        in that order

And let  c  = 21

By Vieta

x + y + z  =  9     ⇒      y + z  =  9 - x          (1)

xy + xz + yz  = 11  ⇒   x ( y + z)  +  yz   = 11  ⇒   x ( 9 - x)  +  yz =   11     (2)      

xyz  = -21    ⇒  yz   =    -21   /  x          (3)

Sub   (3)  into (2)

x (9 - x)  -  21/x    =  11    

-x^2   +  9x    -  21/x   =  11                multiply through  by  -x

x^3  - 9x^2  +  21   =  -11x

x^3   - 9x^2   + 11x   +  21    =   0

By  inspection     x  =   -1  is a  root

So

y  +  z   =   9  -  - 1     =  10

And  

yz =    -21/ -1   = 21

To form an arithmetic  series,   y  =   3   and   z =   7

So.....the  series is

x     y     z

-1   3     7

We  know  the oppositie and  adjacent sides to the  angle......the tangent is what we  need

tan x  =  40  / 70                   use the arctan to find x

arctan  (40 / 70)  =  x    ≈    29.7°