CPhill

x / y   + 1/10  =   (  x + 1)   / (y + 1)

[ 10 x + y  ] / [ 10y ]  =  ( x + 1)  /( y + 1 )

[10x + y] (y + 1)  =  10y ( x + 1)

10xy + y^2 + 10x + y =  10xy + 10y

y^2 - 9y  =  -10x

y^2  - 9y  + 10x  = 0      set this  up as a  quadratic in y

Using the Q Formula

9  ±   sqrt  [  9^2  - 4 * 1 * 10x ]                           9     ±    sqrt [  81  - 40x ]

_____________________________    =        ______________________  =  y

                                2                                                        2

We see that since  x is positive......then  the  radical  will only be an integer when x =  2  which produces a perfect square  of 1

And  y  becomes  [  9  + 1 ]  / 2    =   5    or   y  =  [9 -1] / 2   = 4

Check

(2/4) + 1/10  =     3 / 5                 (2 / 5 )  + 1/10   =   3/6

(1/2) + 1/10 =    3/5                     25 / 50 =   1/2

(12) / 20  = 3/5   =  true                 1/2  = 1/2     =  true

The orignal fractions  are    (2/4)  = 1/2        and  (2/5)

The  expansion is

x^12 + 12 x^11 + 63 x^10 + 190 x^9 + (1455 x^8)/4 + 462 x^7 + (793 x^6)/2 + 231 x^5 + (1455 x^4)/16 + (95 x^3)/4 + (63 x^2)/16 + (3 x)/8 + 1/64

Coefficient on the x^4 term  =  (1455 /16)

3.

Work  with the denominator, first

3 / x   -  1 /  (x + 1)  =      3 ( x + 1)   - 1x              2x + 3

                                       _____________  =     _________     

                                           x ( x + 1)                   x ( x + 1)

The numerator factors as   2 ( 2x  + 3)

So  we have

2 ( 2x + 3)                                2 ( 2x + 3) * x  (x + 1)              

__________________   =     __________________   =       2x ( x + 1)  =    2x^2  + 2x 

[2x + 3] /  [(x) (x + 1)]                   2x + 3

2.

(2x  - 22 )  /(x^2 - 15x  +44)

We want two integers  that  multiply to  44  and  sum  to -15....    .-11 and -4   do  the  trick

2 ( x - 11)  /  [ (  x x -11 ) ( x  -4) ]  =

2 / (x  -4)

1.    Let C  be the number of  consecutive free throws...so we have

   3 + C

 ______  =      .75                 simplify as

   8 +  C

3 + C  = .75 ( 8 + c)

3 + C = 6  + .75C

C  -.75C   = 6 - 3

.25C  =  3

C =  3 /  .25    =   12  = number of  consecutive  free throws

If both have the same  number at the end  then  each  has   (272/2)   = 136

Let  E  be the number that Eugene started with and F what Frank started with

And   F  = 272 - E

Eugene gives away  (1/3) of his

And from Frank he gets   (1/5) ( F  + (1/3) E )  =   (1/5) ( 272  - E + (1/3)E )     (2)     

So  at the end,   what  Eugene started with  - what he gave away + what he got from Frank  = 136

So

E  - (1/3)E  +  (1/5) [ (272 - E + (1/3)E  ]  = 136   

(2/3)E +  272/5 + (1/5)(-2/3)E  = 136

(2/3)E - (2/15)E  =   136   - 272/5

[ 8/15] E  =  408 / 5

8E  =  1224

E = 153 = stamps that  Eugene started with

And Frank started with 119

Proof

Eugene gives  (1/3) to Frank = (153) / 3  = 51

Eugene now has   102

And now Frank has  119 + 51   = 170

He gives 1/5  of these to Eugene  = 34

Eugene now has    102  + 34  = 136

Frank now has  119 + 51  - 34  =  136   

5x + 3y  =  101

x        y             xy

19      2             38

16      7           112

13      12         156

10      17         170

  7      22         154   

Easier  to  first caculate the probability  that  no faces match  = 

[(6) (5) (4) (3)  ] / 6^4  =  360 / 1296 =  5/18

So the probability  that at least two faces match  =   1 - 5/18  =  13 / 18

This is impossible

If   AB  and CD are parallel, then angles   AXE and CYX are equal  since they are corresponding  angles

a^2 - b^2  =  32     

b^2 - c^2  >  0

If a^2  - b^2  =32, then a >b

And b > c

Let a =  2n + 1    and   b  =2n - 1     and   c =  2n - 3

So

(2n + 1) ^2  -  (2n  - 1)^2  = 32       simplify

4n^2  + 4n + 1   - 4n^2 + 4n  - 1   = 32

8n = 32

n = 4

c = 2(4)  - 3   = 5

b = 2(4) - 1   =  7

a = 2(4) + 1  =  9

So

b^2   - c^2   =  

7^2  -  5^2   =

49   -  25   = 

24