CPhill

Here's a very nice solution to this   !!!!

https://web2.0calc.com/questions/i-pick-two-whole-numbers-x-and-y-between-1-and-10

2ab + 10a  = 3b + 257

2a ( b + 5)  = 3b+ 257         [    a + b   =   24    ⇒     b = 24  - a   ]

So

2a ( 24 -a + 5)  =  3 (24 - a) + 257

2a ( 29  -a)    72 - 3a + 257

58a - 2a^2  =  329 - 3a

2a^2  - 61a  +  329  =  0

(2a -47) (a - 7)  =   0

Setting  both factors to  0  and solving for   a  gives    a = 47/2   (reject)     or  a   =  7

If a = 7  then b =  17

So

ab  =   7 * 17   =    119

Yep....it happens  when I'm trying to  work too  quickly.....!!!!

Hopefully, I've repaired the damage    

Thx for pointing out my error, catmg....will make a correction  !!!!

a  + b +  c =  99

a + 6  = b - 6                   4c = b - 6

a =  b -12                          c = (b  - 6)  / 4

This implies that

(b -12)  +  b +  (b -6) / 4 = 99   

2b - 12  +  (b - 6) /4 =  99      multiply through by 4

8b -48 + b - 6  =  396

9b  =  396  + 54

9b  = 450

b=  450 / 9  =   50

a = 38  b  = 50  c =  11

Let a  be  the first  term

We have that

a + ar + ar^2   =  54

a ( 1 + r + r^2)  =  54

a =  54 / (1 +r + r^2)    ⇒   (1 + r + r^2)  =   54/a        (1)

And

54 + ar^3 + ar^4 + ar^5  =  70

ar^3 / (1 + r + r^2)    = 16  ⇒     (1 + r + r^2)  =  16/ (ar^3)      (2)

Equating (1) , (2)

54 / a  =  16 / (ar^3)         [  a   ≠  0 ]

54  =  16/r^3

r^3  =  16/54  =  8/ 27

r =   (8/27)^(1/3)   =  2 / 3

CORRECTION ....THX, CATMG  !!!

Let's work with the denominator

sqrt 2  +  1 /sqrt 8   =

sqrt 2  + 1 / [2sqrt 2 ]  =

[ 2sqrt 2 ]  * sqrt 2  + 1

________________    =

        2sqrt  2

2 * 2 + 1

_________   = 

   2sqrt 2

5 / sqrt 8

So

1 /  [ 5 / sqrt 8]  =

sqrt 8                  2sqrt 2

_____     or       _______     (simplified)

    5                          5

Not great at these, but I'll give this a try

f(x) must  have  the point   (-6,3)   [ the inverse would reverse these coordinates  ] 

f (3x)  compresses  the graph  of f(x)  by  factor of 3  so ( -6/3 , 3) = ( -2,3)  would be on this graph

And   2 f(3x)   means  the point  (-2, 2*3)   =    (-2, 6)  is on this  graph

And  2 f(3x)  - 5    means the point  (-2 , 6 - 5)  =    ( -2, 1)   is on this graph

So

(1,-2)  is on  the inverse  of  g

6mn  = 27 +m  - 2n

6mn +2n  =  27 + m

n ( 6m + 2)  = 27 + m

n  =   (27 + m)  / ( 6m  + 2)

If  m =  5   then   n =  1

(m , n)  = (5,1)

2x + y =  15    ⇒    y  =   15 -  2x       (1)

x + 2y  =  23           (2)

Sub   (1)  into (2)

x  + 2 ( 15 - 2x)  = 23

-3x + 30   =23

-3x  =  -7

x = 7/3    = the   value of one circle

So  2 circles  =  14/3