CPhill

2x^2 = - 2y^2 + 12x - 4y + 20 + y^2 + x^2

Rearrange as

x^2 - 12x + y^2 - 4y   =  20     complete the square on x,y

x^2 -12x + 36  + y^2 - 4y + 4 =  20 + 36 + 4

(x - 6)^2  + (y - 2)^2  =   60

The radius of the  circle =  sqrt (60)

So  the side of the  square is  twice this =  2sqrt (60)

Area of the square =   [ 2sqrt (60) ] ^2  =  4 * 60  =   240

g(-1) =  -1 + 8 =  7

f (g(-1))  = f(7)  =  5(7) -  10  =   25

PQ = 12 - 3 =  9

                                        B

                                                D                   

                             2

                 A                                           C

Note that angles BAD and DAC  = 15°

By the Law of Sines

sin BDA / 2  =  sin BAD / BD     

sin BDA / 2  = sin 15°/ BD

sin BDA =    2sin 15° / BD        (1)

Since AD bisects BAC, then 

AC / DC =  AB/ BD →  AC / 3BD = 2 /BD   →   AC =  3BD * 2 / BD =  6

And 

sin CDA = sin  BDA    so

sin CDA / 6 =  sin DAC / 3BD

sin BDA / 6 =  sin 15°  / 3BD   →  sin BDA = 6sin 15° / 3BD     (2)

Equating (1) and (2)

2 sin 15° / BD  =   6sin 15° / 3BD

3BD / BD =  6sin 15° / 2sin  15°

So

BC =   3BD + BD

BC^2  = (3B  + BD)^2

BC^2 =   ( 6sin 15° + 2sin 15°)^2   =   

 (sin 15° ( 6 + 2) )^2  =

sin^2 (15°) * 8^2  =

(sqrt 3 - 1)^2 / 8 * 64  =

(3 - 2sqrt 3 + 1) * 8  =

(4 - 2sqrt (3) ) * 8  = 

32 - 16sqrt (3)

p = 32   q = -16     r =   3

p + q + r  =   19

Angle CBA = 44

And since AC = AB   the angle CAB = 44

So angle ACB  =  180   - 2(44)  =   92° 

So angle  ECD  =  180  - 92 - 44   =     44°  

Rearrange as

4x^2 + (4k - 3)x  + k - 2  =  0

This will have two real roots when the discriminant  >   0

So

(4k - 3)^2  -  4 (4) (k - 2)  >  0

16k^2 - 24k + 9  - 16k + 32 >  0

16k^2 - 40k + 41  >  0

See the graph here (in x)  :  https://www.desmos.com/calculator/bwva5lob60

This parabola  lies wholly above the x axis so any real  value of  k will give two real solutions

We have a 6-8-10  right triangle

The circumradius   =    (1/2) hypotenuse =   5

The inradius =  ( height + base - sqrt ( height^2 + base^2) )    / 2  = 

( 6 + 8 -  sqrt  ( 6^2 + 8^2) )   / 2  =

(14  -  sqrt (100) )  / 2  =

(14  -10 )    /  2  =

4/2  =  

2

C (5,2) * C(6,2) * C (  (5 - 2)  + (6 - 2) , 2)  = 

C(5, 2) * C(6,2) *C(7 , 2)  =

10 * 15 * 21  = 

3150 ways

4x  + 12y =  1

Slope =  -4/12 =  -1/3

x int   →     4x   = 1     →   x =   1/4

y int    →    12y  = 1     →  y  = 1/12

a + b + m =   1/4 + 1/12 - 1/3    =   3/12 + 1/12 - 4/12  =    0

Note that    x^2 - 4x + 3 =   (x -3) (x - 1)    multiply through by this factor

4x - 11 =  A(x - 3) + B( x - 1)

4x - 11  = (A + B) x -3A - B

Equating terms

A + B = 4      →   B = 4 - A       (1)

-3A - B  =   -11  →    3A + B =  11    (2)

Sub (1) into (2)

3A + 4 - A = 11

2A =  11 - 4

2A  = 7

A =  7/2                  B =  4 - 7/2   =   1/2

(A , B)  =  (7/2 , 1/2)