CPhill

AH : HD   ≈  2.59 :  1.08

2x^2 - 7x  + 2   = 0

sum of roots  =  7/2  = 3.5

product of roots  = 2/2  = 1

(a - 1) (b -1)  =  ab - (a+ b) + 1 =   1 - (3.5) + 1  =   -1.5

ACB forms a right triangle in the circle

We have something like this : 

By the Theory of Intersecting Chords

AD * BD  =  CD * MD

5.9 * 3.04  = 3.88 * MD

(5.9)(3.04) / 3.88  = MD  ≈  4.62

So

CM =  CD + MD  =  3.88 + 4.62  ≈   8.5

Given that a > 0, if f(g(a)) = 8, where f(x) = x^2 + 4 and g(x) = x^2 - 4, what is the value of a?

g(a)  =  (a^2 - 4)

f(g(a))  =   (a^2 - 4)^2 + 4  =   8

(a^2 - 4)^2  =  8 - 4

(a^2 -4)^2  = 4              take the square root

a^2  - 4 =  ± 2

a^2 - 4  = 2               or              a^2  - 4  =  -2

a^2 = 6                                      a^2  =  2

a = sqrt (6)                                 a = sqrt (2)

(x^3  + 8) ( x + 2)   =  19

x^4 + 2x^3 + 8x - 3   =  0

x ≈ .36110

a + b =  7                square both sides

a^2  + 2ab +b^2  = 49

a^2 + b^2  = 49  - 2ab

And

a^3 + b^3  =  44

(a + b) ( a^2  - ab + b^2)  = 44

(a + b)  ( a^2 + b^2  - ab)  = 44

(7) ( 49 - 2ab -ab)  =  44

49 - 3ab  =  44/7

49 - 44/7  = 3ab

299/7  =  3ab

299 / 21  =  ab

Note that    1/a + 1/b =  (a + b) /  ab   =    7 / ( 299/21)  = 147 / 299

Set the equations equal

x^2 - 3x - 3 =  -x^2  - x  + 1              rearrange as

2x^2 - 2x - 4   =  0              divide through by 2

x^2 - x  - 2   =  0

(x - 2) ( x +1)   = 0

x -  2   = 0                 x + 1  = 0

x  = 2  = c                 x =  -1  =   a

c - a =   2 -  (- 1 )  =   3

x^2 + y^2   = 1        square both sides

x^4 + 2x^2y^2  + y^2  =  1

(x^4 + y^4)  +  2(xy)^2    =1

(17/19)  + 2(xy)^2   =  1

2(xy)^2  =   1 -  17/19

2(xy)^2   = 2/19             divide through by 2

(xy)^2  =    1/19            take the positive root

xy  = sqrt (1/19)  =   sqrt (19) / 19

The max are is a square  that is  (20/4)  =  5 ft on  a side

Max Area =  side^2 =  5^2  = 25  ft^2

When y =  1

x ranges from  1  to  28

When y = 2

x ranges from  1 to  27

When y = 3

x  ranges from 1 to  26

...

When y = 22

x ranges from 1 to 2

When y = 23

x  only has the value 1

So the  number  of  positive integer  values  = the sum of the first  28 positive integers  =

(28) (29)  / 2   = 

406