CPhill

cos ( theta - pi) =  cos theta * cos pi  + sin theta * sin pi  =  (3/5) (-1) - (4/5) (0) =  -3/5

cos (theta - pi/2) =  cos theta * cos pi/2  +  sin theta * sin pi/2 = (3/5) (0)  + (4/5) (1)  = 4/5

Nothing shown

         P

A                  B

C                 D

Angle ABP  = 60

Angle ABD = 90

Angle PBD = 60 + 90  = 150

In triangle PBD , BP = BD

So angle BDP  = angle BPD

So angle BPD =   (180 - 150) / 2 =  30 / 2  =  15°

Only one

2 - 2 - 1

\(1, 2,\dots,315, 316, \dots, 999\)

1 - 9  =     9 digits

10 - 99 =  90 numbers (2 digits each)  = 180 digits

100 - 999 = 900 numbers(3 digits each) = 2700 digits

2889 digits in total

Simplify as

x^2  + 9x - 20   =    0

r + s =   -9/1 =  -9        square both sides

r^2 + 2rs + s^2  =   81         (1)

rs =   -20 / 1  =  -20

2rs  =  -40

So......using (1)

r^2  + 2 (-40) + s^2   =  81

r^2  - 80 + s^2  =  81

r^2 + s^2  =   81 + 80

r^2 + s^2  =  161

\(\frac{3}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{18}} - \frac{6}{\sqrt{3}} + \frac{9}{\sqrt{2}} \)

3/sqrt 2  +  1/ [ 3sqrt 2 ]  -  6/sqrt3  +9/sqrt2  =

[ 9 + 1 + 27 ] / [3sqrt 2]  -   6/sqrt 3  =

[ 37sqrt 2 ] / 6]  -     [6 * 2 sqrt 3 ] / 6  =

[37sqrt 2 - 12sqrt 3 ]  /  6

Simplify  as

2mn - 6m +n +  ____

2m ( n - 3)  + (n - 3)  =

(2m + 1) ( n - 3)  = 

2mn - 6m + n  - 3  =

2mn - 6m + n +  (-3)

The altitude =   sqrt (3)/2 *a

The circumradius =   (2/3)sqrt (3)/2 a  = (1/sqrt3) a

The inradius = (1/3)sqrt (3) / 2 )a = (sqrt (3) / 6) a =   (1/ ( 2sqrt 3) a 

x  -  y  =      pi   [ ( 1/sqrt3 * a)^2 - ( 1/ (2sqrt 3) * a)^2 ] =   a^2/4

   (2n)!               (2n)!                                                     (2n)!

________  -    ___________________     =       r  *   _________        rearrange as

(2n -n)! n!        (2n - (n + 1))!  (n + 1)!                          (2n - n)! n!

(2n)! (1 -r)                       (2n)!

_________  =    __________________            (divide out (2n)!   and    multiply through by -1 )        

(2n - n)! n!         (2n - (n + 1))! (n + 1)!

(1 - r)                               1

_________ =         _____________  

(n!) (n!)                   (n - 1)! (n + 1)!

( r - 1)                       -1

______  =     ________________

(n!)(n!)                (n -1)! ( n + 1)!

(r -1)  =     - (n! (n!)

             _____________

                (n - 1)! (n + 1)!

r - 1  =     -  (n)! / ( n -1)!   *   n! / (n + 1)!

r  -1  =    -     n  *     1/(n + 1)

r - 1  =   - n / (n + 1)

r  = 1 -  [  n / (n + 1)   ] 

r = ( n + 1  - n) / ( n + 1)

r =  1 / ( n + 1)