geno3141

To start: 

2^{a + 3} + 3^{b + 1}  =  33   --->   8·2^a + 3·3^b =  33   --->   3·3^b  =  33 - 8·2^a 

               --->    3^b  =  ( 33 - 8·2^a ) / 3

2^{2a - 1} + 3^{b + 2}  =  11   --->   ½·2^2a + 9·3^b  =  11   --->   9·3^b  =  11 - ½·2^2a 

              --->   3^b  =  ( 11 - ½·2^2a ) / 9

Setting these equal to each other:  ( 33 - 8·2^a ) / 3  =  ( 11 - ½·2^2a ) / 9

Multiply by 9:                                     3·( 33 - 8·2^a )  =  ( 11 - ½·2^2a )

                                                                99 - 24·2^a  =  11 - ½·2^2a 

Multiply by 2:                                         198 - 48·2^a  =  22 - 2^2a

                                                      2^2a - 48·2^a - 176  =  0

Factor:                                             (2^a - 4)(2^a - 44)  =  0

So, either:  2^a  =  4   --->   a  =  2

            or:  2^a  =  44   --->   a  =  log(44) / log(2)

etc ....

And the question is ...

Two points on the line are  (2, 0) and (0, -3)   --->   m  =  ( - 3 - 0 ) / (0 - 2 )  =  3/2

The y-intercept is -3   --->  the equation is  y  =  (3/2)x - 3

Since the line is not shaded but the graph is shaded below that line:  y  <  (3/2)x - 3

--->   2y  <  3x - 6    --->     -3x + 2y  <  -6     --->     3x - 2y  >  6

Second question:

f(x) = 1.8 in three places:

1)  -1 <= x <= 1   --->   y = 2x    --->   1.8  =  2x   --->   x  =  0.9

2)  1 <= x <=2   --->   y = -x + 3   --->   1.8  =  -x + 3   --->   -1.2  =  -x   --->   x  =  1.2

3)  2 <= x <= 4   --->   y  =  2x - 3   --->   1.8  =  2x - 3   --->   4.8  =  2x   --->   x  =  2.4

First question:         f(x)  =  ( 3x + 2 ) / 5     --->     y  =  ( 3x + 2 ) / 5   

To find the inverse function:

Step 1:  interchange  y  and  x:          x  =  ( 3y + 2 ) / 5

Step 2:  solve for y:                          5x  =  3y + 2

                                                   3y + 2  =  5x

                                                         3y  =  5x - 2

                                                           y  =  ( 5x -2 )  / 3

Step 3:  replace  y  with  f^-1(x):     f^-1(x)  =  ( 5x - 2 ) / 3

Find  f^-1(4)  --->   f^-1​(4)  =  ( 5·4 - 2 ) / 3   =   18 / 3  =  6

Find  [ f^-1(4) ]^-1  =  [ 6 ]^-1  =  1/6

Area  =  [ (3x + 6)(2x + 4) ] - [  (x - 3)(x - 1) ]

         =  [ 6x² + 12x + 12x + 24 ] - [ x² - x - 3x + 3 ]

         =  [ 6x² + 24x + 24 ] - [ x² - 4x + 3 ]

         =  6x² + 24x + 24 - x² + 4x - 3

         =  5x² + 28x + 21

Since  x + y  =  4   --->   y  =  4 - x

x³ + y³ + 12xy - 64   --->   x³ + (4 - x)³ + 12x(4 - x) - 64

(multiplying out)       --->   x³ + [ 64 - 48x + 12x² - x³ ] + [ 48x - 12x² ] - 64

(rearranging)           --->   x³ - x³ + 64 - 64 - 48x + 48x + 12x² - 12x² 

                                                             =  0

Step 1)  Find the y-intercept of x + 2y  =  8:

              Substitute 0 for x in the equation:  0 + 2y  =  8   --->   2y  =  8   --->   y = 4

              The y-intercept is 4.

Step 2)  Find the equation of the new line.

              You know that these two points  (9, 6)  and  (0, 4) are on the line.

              First, find the slope:  m  =  (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)   --->   m  =  (4 - 6) / (0 - 9)

                                                                                        --->  m  =  2/9

               Now, use the point-slope formula:  y - y₁  =  m(x - x₁)

                                                                --->   y - 6  =  (2/9)(x - 9)

                                                            --->   9(y - 6)  =  2(x - 9)

                                                            --->   9y - 54  =  2x - 18

                                                                   --->   9y  =  2x + 36

                                                                     --->   y  =  (2/9)x + 4

                This equation has a slope of  2/9  and a y-intercept of  4.   

y  =  -2x² + bx + c          with roots     3 + sqrt(5)     and     3 - sqrt(5)

One answer is:  y  =  [ x - ( 3 + sqrt(5) ) ] · [ x - ( 3 - sqrt(5) ) ]

Let's multiply out the right-hand side:

     [ x - ( 3 + sqrt(5) ) ] · [ x - ( 3 - sqrt(5) ) ]     --->     [ x - 3 - sqrt(5) ] · [ x - 3 + sqrt(5) ]

                  --->   x² - 3x + sqrt(5)·x - 3x + 9 - 3·sqrt(5) - sqrt(5)·x + 3·sqrt(5) - 5

                  --->   x² - 6x + 4

However, since the original problem started with "-2x²", we'll have to multiply this answer by -2:

--->     y  =  -2x² + 12x - 8

To find the vertex:                              y  =  -2x² + 12x - 8

--->  add 8 to both sides:             y + 8  =  -2x² + 12x

--->   factor out the -2:                 y + 8  =  -2(x² - 6x)

--->   complete the square:    y + 8 - 18 =  -2(x² - 6x + 9)

                                                    y - 10  =  -2(x - 3)²  

The vertex is  (3, 10)

Each of the diagonals is an arithmetic series.

The formula for the sum of an arithmetic series is:  Sum  =  n(a₁ + a_n) / 2

where         n = number of terms         a₁ = first term         a_n = last term

For the diagonal from upper left to lower right:  n = 100     a₁ = 1     a_n = 10000

--->     Sum  =  100( 1 + 10000 ) / 2  =  500 050

For the diagonal from upper right to lower left:  n = 100     a₁ = 100     a_n = 9901

--->     Sum  =  100( 100 + 9901 ) / 2  =  500 050

You'll need to add these two sums together to get the final answer ...