Probolobo

100km/h = 100/3,6 m/s = 27,78 m/s.

Der Reifenradius ist 30cm=0,3m, daher ist der Reifenumfang 2*Pi*0,3m = 1,88m. 

27,78/1,88 = 14,78  --> 14,78 Umdrehungen pro Sekunde.

Es reicht, wenn du die Fragen einmal stellst.

a) 960/240 = 4 -> reicht 4 Wochen.

b) täglich 12l mehr bedeutet, dass in einer 5-Tage-Woche 12*5=60l mehr verbraucht werden. Der Wochen-Verbrauch steigt also von 240 auf 240+60=300.

960/300 = 3,2 - Die Farbe reicht noch 3,2 Wochen oder (bei der 5-Tage-Woche) 3 Wochen & einen Tag.

Falls du mit "mantel" die Mantellinie meinst: Mit Höhe h, Radius r und Mantellinie m gilt folgende Formel:

\(m=\sqrt{r^2+h^2}\)

Diese musst du dann nach r umstellen. Du erhältst folgende Formel:

\(r=\sqrt{m^2-h^2}\)

Falls du die Mantelfläche meinst:

Für die Mantelfäche M gilt folgende Formel:

\(M=\pi\cdot m \cdot r\).

Für m können wir die Formel von oben einsetzen:

\(M=\pi \cdot \sqrt{r^2+h^2} \cdot r\).

Quadrieren beider Seiten liefert folgendes:

\(M^2 = \pi^2 \cdot (r^2+h^2)\cdot r^2\)

Klammern auflösen, M² nach rechts bringen und nach r-Exponent sortieren liefert dann:

\(0 = \pi^2r^4 + \pi^2h^2r^2+M^2\)

Diese Gleichung kann per Substitution (z=r²) gelöst werden.

Erstmal: Eine Funktion ist beschränkt, wenn es eine Zahl G gibt mit f(x)<=G für alle x (von oben beschränkt) und eine Zahl g mit f(x)>g für alle x (von unten beschränkt).

(ii): 

Sei G_f die obere Schranke für f, G_g die obere Schranke für g, g_f die untere Schranke für f und g_g die untere Schranke für g. Es ist nach der Beschränktheits-Definition für alle x folgendes wahr: f(x) ist in I_f=[g_f ; G_f] enthalten und g(x) ist in I_g=[g_g ; G_g] enthalten. Zu zeigen ist, dass auch für fg(x)=f(x)*g(x) ein beschränktes Intervall (also mit zwei reellen Grenzen) existiert, in dem die Werte fg(x) für alle x enthalten sind. fg(x) ist stets ein Produkt von zwei Zahlen jeweils aus I_f und I_g. Die größte Zahl, die wir so finden können, ist das Maximum der Menge M={g_fg_g ; G_fg_g ; g_fG_g ; G_fG_g}. Sie ist als obere Schranke geeignet, also G_fg=max(M). Die kleinste Zahl ist das Minimum dieser Menge, also g_fg=min(M). Somit wissen wir: Für alle x ist fg(x) in [g_fg ; G_fg] enthalten. Also ist auch fg beschränkt.

(i) kannst du genauso machen, hier geht's aber theoretisch auch ein bisschen einfacher, weil man nicht so auf die Vorzeichen aufpassen muss. Also entweder das gleiche wie oben, oder obere und untere Beschränktheit getrennt:

Obere Beschränktheit: f(x) <= F für alle x, g(x) <= G für alle x, daher ist (f+g)(x)=f(x)+g(x) <=F+G, also ist F+G obere Schranke für f+g.

Untere Beschränktheit genauso.

(iii) funktioniert ähnlich wie (i). Eine Funktion ist monoton wachsend, wenn für y>x gilt f(y)>f(x). Wenn das für zwei Funktionen f & g funktioniert, ist für y>x auch (f+g)(y)=f(y)+g(y) > f(x)+g(x) =(f+g)(x). Also ist auch f+g monoton steigend.

(iv) ist die einzige falsche Aussage. Versuch' mal, ein Gegenbeispiel zu konstruieren - halt' dich dabei möglichst an sehr einfache Funktionen.

Wenn dir zu (iv) nichts einfällt oder was anderes an meiner Antwort unklar ist frag' gern nochmal nach! :)

Ich geh' mal davon aus, dass du's per Hand machen musst - ansonsten wäre die Antwort "mit einem Taschenrechner".

Wenn du schon weisst, dass die Zahl, deren Wurzel du willst, eine Quadratzahl einer natürlichen Zahl ist (oder du ein "angenehmes", rundes Ergebnis erwartest), so kannst du dich mit gezieltem probieren Herantasten. Das Intervallschachtelungs-Verfahren (kommt unten noch) funktioniert dann auch gut, weil der am Ende erwähnte Nachteil wegfällt.

Ganz allgemein können Wurzeln per Hand immer mit dem Heron-Verfahren berechnet werden, wie das funktioniert kannst du hier nachlesen:

Lies die Frage & die Antwort dazu hier:

Wie ist der Angaben-Text zu verstehen? "Ein Tausendstel Gramm enthält 5Mio Blutkörper"?

Zur a) - Wie soll man das hier herausfinden? Was ist überhaupt gesucht, eine Lösung in Liter oder in Gramm (bzw. kg)?

b) das wäre wohl mit der Angabe von oben zu lösen. Wenn ich die richtig interpretiert habe und tatsächlich ein Tausendstel Gramm 5Mio Blutkörper enthalten soll, so enthält ein kg (=1.000.000 Tausendstel Gramm) 5.000.000.000.000 Blutkörper (5 Billionen). Das ist mit der Masse ihres Bluts in kg zu multiplizieren.

c) Hier muss das Ergebnis aus b) mit 7/1000mm multipliziert werden. Das Ergebnis ist die Länge der Strecke in mm. Sicherlich hilft's hier, das Ergebnis in größere Längeneinheiten, etwa m oder km, umzurechnen.

0.0045-0.003x × 0.003-0.000x= x²

0,0045-0,00009x-x²=0

\(x_{1/2} = \frac{0,00009\pm\sqrt{0,00009^2-4\cdot(-1)\cdot 0,0045}}{-2} = \frac{0,00009\pm0,1342}{-2}\)

x₁=0,5667 ; x₂=-0,5676

Klar:

vu=1/(2pi*f*R1*C2)    |Kehrbruch

1/(vu) = 2pi*f*R1*C2    |:(2pi*f*R1)

1/(vu*2pi*f*R1) = C2

So ist sogar egal, ob vu ein Produkt zweier Faktoren oder eigentlich v_u ist. Ist mit der Schreibweise nicht ganz klar.

Der Vollständigkeit halber: Ich vermute mal, dass deine Angabe so aussehen soll:

\(v_u = \frac{1}{2\pi \cdot f \cdot R_1 \cdot C_2}\).

Dann sieht die Lösung in hübsch so aus:

\(C_2 = \frac{1}{2\pi \cdot v_u \cdot f \cdot R_1}\).