Probolobo

(1) Es ist 4(3·30-2)=4·(90-2)=4·88=176 = 24 mod 38.

(2) 542^9999999999 = (-1)^9999999999 = -1 = 542 mod 543 (da 9999999999 ungerade)

(3) Zunächst bestimme ich die Inversen:

6^-1 = 6, denn 6·6=36=1 mod 7

2^-1 = 4, denn 2·4=8=1mod7

3^-1 = 5, denn 3·5=15=1mod7

Also ist  6⁻¹· 5² + 3⁻¹2⁻¹ = 6 · 25 + 4 · 5 = 150+20=170=2 mod 7

Die Multiplikation ist assoziativ, weil die Multiplikation im Ring der ganzen Zahlen schon assoziativ ist und die Multiplikation der Restklassen in Z/nZ durch die "herkömmliche" Multiplikation definiert ist. Ich nenn' dafür mal x* die Restklassen in Z/nZ, wobei x ein Repräsentant ist. 

Dann ist x*· (y* · z*) = x* · (yz)* = (x ·(yz))* = ((xy)* · z*) = (x* ·y*) · z* eben aufgrund der Defintion der Multiplikation in Z/nZ und wegen der Assoziativität der Multiplikation in Z.

Einen 5°-Winkel kann man nicht konstruieren.

Konstruieren kann man direkt eigentlich nur 0°, 60°, 90°, 180° und 360°. Dadurch kann man alle Winkel konstruieren, die man durch halbieren der eben genannten Winkel erreichen kann. Letztendlich kann man auch alle Winkel konstruieren, die sich durch Addition und Subtraktion der bisher erwähnten Winkel darstellen lassen. Bei 5° geht das nicht.

Nein, denn 4:(-8)=-0,5.

Das ergebnis bekommst du, indem du beide Seiten der Gleichung mit -8 multiplizierst:

x : (-8) = 4   | *(-8)

x = -32

Nein.

Die Wurzel ist das "Gegenstück" zum Quadrieren. Beispielsweise ist 4²=16, also ist 4 die Wurzel von 16. Geschrieben wird's so: \(\sqrt{16}=4\).

Die Frage ist ein bisschen zu Allgemein, um Sie hier wirklich vollständig zu beantworten.

Schau dich vielleicht mal hier um:

https://www.studienkreis.de/mathematik/vierfeldertafel-erstellen/

Da wird das eigentlich ganz gut erklärt. "4 Felder Tafel" googlen liefert einige andere gute Seiten, die das erklären - mehr hab' ich auch nicht gemacht.

Was hat denn die "7" in der Angabe zu bedeuten?

(i) funktioniert genauso wie hier: https://web2.0rechner.de/fragen/sei-x-eine-menge-zeigen-sie

Verkettung ist bei allen Abbildungen assoziativ, daher auch als Verknüpfung auf einer Menge von speziellen Abbildungen.

(ii) das neutrale Element könnte man hier durchaus erraten, nämlich die Identität. Das wäre hier wohl die Abbildung f_1,0, die in Agg(R) enthalten ist.

(iii) abelsch ist die Gruppe leider nicht: Beispielsweise ist \((f_{1,1} \circ f_{2,2} )(x) = f_{1,1} (2x+2) = 2x+2+1 = 2x+3 \\ (f_{2,2} \circ f_{1,1} )(x) = f_{2,2} (x+1) = 2(x+1)+2 = 2x+4 \\\), also offenbar nicht gleich.

Da steckt durchaus ein Inhalt drin. 

Es geht um irgendeine Aussage P, die etwas über zwei Zahlen aussagt. Wie jede Aussage kann sie stimmen oder nicht stimmen. (Ein Beispiel, das hier gut Funktioniert, wäre P(x,y)= "x = -y" - P(2, 3) ist falsch, P(2, -2) ist wahr.)

Das, was du rot markiert hast, bedeutet dann in Worten

"Für alle Zahlen y existiert eine Zahl x, sodass sowohl P(x, y) als auch P(y, x) wahr ist." (Die Aussage stimmt mit dem vorherigen Beispiel für P)

Mit dem Begriff "freie Variable" bzw. "gebundene Variable" habe ich bis jetzt so gut wie nie zu tun gehabt und bin daher nicht ganz sicher wie's hier funktioniert. Die Wiki-Definition sagt, dass eine Variable frei ist, wenn sie an einer Stelle in der Formel nicht im "Einzugsbereichs" eines Operators vorkommt. Das trifft hier weder auf x noch auf y zu (insbesondere weil eigentlich die komplette Formel im Einzugsbereich des Allquantors steht), daher würde ich sagen, dass hier keine freie Variable vorkommt.

Gern, freut mich wenn's hilft.

"Total falsch" ist evtl etwas übertrieben :D Der Rechenweg ist bei mir ja der gleiche, ich hab halt die 10h bis zum Ausfall noch mit einbezogen.

Dafür müssen die drei Eigenschaften der Definition einer Gruppe nachgerechnet werden.

Die Verknüpfung ist assoziativ, denn es gilt\((f \circ(g \circ h) )(x) = f( (g \circ h )(x)) = f(g(h(x))) = (f \circ g) (h(x)) = ((f \circ g) \circ h )(x)\) für alle x aus X. Das neutrale Element ist die Identität, da offenbar \(f \circ id_x = id_x \circ f = f\) für alle bijektiven Abbildungen f gilt. Für die letzte Aussage brauchen wir jetzt auch die Bijektivität: Weil die Abbildungen in Sym(X) bijektiv sind, gibt es die inversen Abbildungen dazu. Da diese ebenfalls bijektiv sind, sind sie auch in Sym(X) enthalten.