Beweise mit vollständiger Induktion:
\(\sum_{k=1}^{n}(4k-1)=2n^2+n \) für alle \(n\in \mathbb N.\)
Hallo Gast!
\(\sum_{k=1}^{n}(4k-1)=2n^2+n \)
Induktionsanfang:
\(n=1\) \(linke\ Seite:\) \(4\cdot 1-1= \color{blue}3 \)
\(rechte\ Seite:\) \(2\cdot 1^2+1=\color{blue}3\)
Für n = 1 sind beide Seiten gleich, die Aussage ist richtig.
Die Induktionsannahme (I.A.) lautet:
\(\sum_{k=1}^{n}(4k-1)=2n^2+n \)
Der Induktionsschluss von n nach n + 1:
\(\sum_{k=1}^{n+1}(4k-1)=2(n+1)^2+n+1 \)
linke Seite:
\(\sum_{k=1}^{n+1} (4k-1)\\ =\sum_{k}^{n}(4k-1)+4(n+1)-1 \)
I.A.
\(=4\cdot1-1+4(1+1)-1\\ =4-1+8-1\\ =\color{blue}10 \)
rechte Seite:
\(2(n+1)^2+n+1\\ =2(1+1)^2+1+1\\ =\color{blue}10\)
Für \(\sum_{k=1}^{n+1}(4k-1)\) sind beide Seiten gleich, die Aussage ist richtig.
qed
!
