CPhill

Very nice, amy  !!!!!

Here's  what I get

Take  1 step  6 times   =       6    steps

Take  2 steps  2 times   =     4    steps

                                         ___________

                                            10   steps

So.......the  number  of  identifiable  ways we  can make from    11111122  =

  8!

____  =      28   unique  ways of going fromm the  second to the  third floor

6! 2!

f(g(x))    means  that  we are putting   "g"  into "  "f".....so.....

√ (x^3  + x)  +  1

sqrt (3)  ≈   1.73

It  can't  be  the hypotenuse, brecause  2  is greater

Plus.....by the Pythagorean Theorem....

2^2    =  1^2  +  (sqrt (3))^2

4  =  1  + 3

So....2 is the hyp

Arc length  =    r  *  (2pi)   (  120  / 360)

2.3  =  2pi / 3   *  r

r  =  2.3  / ( 2pi/3)  =    (3 * 2.3) /   (2 pi)   ≈   1.1 yd

x   =  3cosθ + 2                     y  =   2sinθ  - 1  

x - 2  = 3cosθ                        y + 1  = 2sinθ

cos θ =  (x - 2)  / 3                sin θ  =  (y + 1) / 2

And    sin^2θ  + cos^2θ  = 1

So

(x - 2)^2                (y + 1)^2

_______    +       _________   =     1

    9                             4

This is an ellipse  centered  at  ( 2, -1)

x  is on the interval      (  2 - sqrt 9  ,  2 + sqrt 9)  =    ( -1  ,  5)

Angle  N  is an inscribed angle.....it measures  1/2 of its intercepted arc =  (1/2)(144)   =72°

Applying the same logic, minor arc MQ   2 * 47 =   94°

There  isn't  any  work to show......MPS  has  done all that you need to do   (the  sum of the first 5 squares)

If  you evaluate  the  sigma notation,  you will  find that it  = the sum given

POQ  forms  a right triangle with  angle QPO  = 90 degrees     (a tangent always meets a radius at 90° )

So....using the Pythagorean Theorem

OP^2  = QO^2  -  PQ^2

OP^2   = (r + 6)^2 -  18^2

r^2  = r^2 + 12r  + 36  - 324

12r   =  324  - 36

12r  =  288

r  = 288  / 12     =   24

Very nice, MPS   !!!