CPhill

F

9

E               25   D

tan  D   =  EF  / DE

tan  25°  =  9 / DE

DE  =  9   /  tan  25°    ≈  19.3

2^2  *  3^3  * 4^4  *  5^5  *  6^6      =

2^2  *  3^3  *  (2^2)^4   *  5^5  *  2^6  * 3^6   =

2^2  *  3^3  *  2^8  *  5^5  *  2^6  * 3^6    =

2^16  *  3^9  *  5^5

We  need  3 *  5   =  15

y =  x^2  -  14x   -  21

x coordinate of the  vertex =  14/2  =  7

y coordinate of the  vertex  =    7^2  - 14 (7)  - 21    =  -70

Roots

x^2   - 14x   =   21      complete  the square  on  x

x^2   -  14x   +  49  =   21  +  49

(x - 7)^2  =   70

x - 7  =   ±  sqrt 70

x =  sqrt (70)  +  7

x =  -sqrt (70)  +  7

Distance  between  these points =    ( sqrt (70)  +  7 ) - ( -sqrt (70  + 7)  =   2sqrt (70)

Area of  triangle =    (1/2)  (2 sqrt (70)  )  (  70)  =   70*sqrt (70)  ≈  585.66

Consider  the  following

Find  the  area of  EFGH  =   EF  x  FG   =   5 x 4  =  20       (1)

Then

Areas of  right triangles  EBA, AHD , DGC   and  BFC  =

(1/2)  ( 1 * 3  +  4 * 1   + 1 *3   +  4 * 1)  =   

( 1/2)  ( 3 + 4  +  3 + 4)

(1/2) ( 14)   =  

7         (2)

Area of   ABCD   =   (1)  - (2)  =   20  - 7  =    13

Number of paths  ftom  (0, 0)  that  pass through  ( 4,3)  =

(R  R  R  R   U  U  U)  =   C( 7,4)  = C(7, 3)  =   35

Number of paths  from (0,0)  to  ( 5,7) =    

(R R R R R  U U U U U U U )  =   C(12, 5)  = C(12,7)  =  792

So....total  paths  from   (0, 0)  to (5,7)  that do not pass through  (4,3)  =  792   -  35  =    757

B =  (3/4)D

After  Dan  received   $15   he  has    D  +  15

So

B  / ( D +  15)   =  6/11

(3/4)D  /  ( D + 15)  =  6 /11     cross-multiply

11 * ( 3/4)D  = 6 (D + 15)

(33/4)D    =  6D   +  90

(33/4)D  - 6D   =  90

(33/4)D   -  (24/4)D   =  90

(9/4)D  =  90

D  = (4/9) (90)  =     $40  = what Dan started with

Carl  must  have  started  with   $120

So

6 (120 -  S)   =  240

720  - 6S   =  240

720  - 240   =   6S

480  =  6S

480  / 6   =    80    ......Carl spent $80

x^2+10x+y^2+16y-k=0

x^2  +  10x   +  y^2   +  16y     =  k           complete the  square on x, y

x^2  + 10x  + 25    +  y^2  +  16y +  64   =  k + 25  +  64

(x  + 5)^2   +  ( y  + 8)^2   =   k  +  89

To  have  a circle with a radius of 6, the right  side needs to  be  36

So

k  +   89  =  36

k  =  36 - 89   =   -53

x, y   are  >   18

Let  z  = 18

Let  x  = z+ a

Let  b  =  z + b

So

1/ (z + a)  +  1 / (z + b)  =  1  / z

(z + b + z + a)  / [ (z + a) (z + b)  =   =  1/z

( 2z  + a +  b)  /  [ (z + a)  (z + b) ]  =   1  /z               cross-multiply

2z^2  +  az + bz   =   ( z + a)  ( z + b)

2z^2  + az + bz =  z^2  +  az + bz  +  ab              simplify

z^2  =   ab

18*2  =  ab

324  = ab

Factors of  324  = 

1 | 2 | 3 | 4 | 6 | 9 | 12 | 18 | 27 | 36 | 54 | 81 | 108 | 162 | 324 

ab  will be minimized  when   a = 12   and  b   = 27

So

x = a + z =   12 + 17 =   30

y =  b +  z =   27 + 18  =   45

Smallest possible value  for  x  +  y      =  30   +    45  =    75

Call the  original price, P

So

P  ( 1 - .50) ( 1 - .25)  =   .75

P  (.50)  (.75)   =  .75               divide  both  sides  by .75

P (.50)    =  1

P   = 1 /  .50   =      2  ( dollars)