CPhill

a -  b  =  4

b =  a - 4

a^2  +  b^2 

a^2  +  ( a - 4)^2

a^2  +  a^2  -  6a  +  16

2a^2 -  8a   +   16

a^2   -  4a   +  8           take  the  derivative   and set to  0 

2a  -  4  =  0

2a  =   4

a  =  2

b =  a - 4   =   2  - 4   =   -2

a  = 2

b =  -2                 produce a  min

      2

________   =

∛4  + ∛32

       2

___________  = 

∛4  +  2∛4

       2                          ∛ 2

_____________   *   ____    =

      3∛ 4                     ∛2

2 ∛2

______    =

 3 ∛8

2 ∛ 2

_____   =

3 * 2

     ∛2

_______

      3

A + B    =  5

Let  x  be  the  number of  coins in each of  the  7  bags originally

So

7x  + 53  > 200

7x > 147

x >  21

Since we have  8 bags, then  the  number of  coins must  be  an even number  >  200

Through  a little trial  and error, I  find  that  the number of  coins =  256.....and there were 29 coins  in each  of the 7 bags originally

Logic :

Let  29  be  the  number of  coins in each of  the  7 bags originally

Distribute  3   coins  out of  the  53   into each of the  7  bags

Then  each of the  7  bags contains 32 coins   and  the  8th bag contains  53 - 7(3)  = 53 - 21  =  32 coins

So....as found previously.....we must have had    29 x 7  =   203  coins originally

Method of Partial Fractions  :

Note  that  (x^2  - 8x + 15)  = ( x -3) (x - 5)

Mutiply  the equation   by  this and we  get  that

4x + 18   = A(x - 5)  +  B (  x - 3)

4x + 18  =  (A + B)x  - ( 5A  + 3B)          equate  coefficients and  constants

A  +  B    =   4       ⇒    B  =  4  - A      (1)

-5A  - 3B  =  18          (2)

Sub (1)  into (2)

-5A  - 3(4 - A)  =  18

-5A  - 12  + 3A  = 18

-2A  -   12  =  18

-2A  =  30

A  = -15

B  = 4 - -15 =   19

(A,B)  = ( -15, 19)

Since   we can position the white  circle  anywhere in the  gray area, let  the  circles  be concentric

Area  of  larger circle =   pi*r^2  + 8pir^2  =  9pi r^2     where r is the  radius of the  smaller  circle

So

Ratio   of areas  =

  pi r^2

_______     =    1/9

9 pi r^2

The  ratio  of  the  radii  =   sqrt  (1/9) =   1 / 3

I like  that identity  you used that

2*4*6*8.......   =    2^(number of terms) * (number of terms)!

I'm learning all kinds of stuff  from you today   !!!!

Label  the  vertexes from the  top left   in  a  counter-clockwise  fashion  as

A , B,  C, D

Triangles   ACB  and DAC   are   30-60- 90   right triangles

Side BC is opp  a 30°  angle

Side  AC  is opp a  90° angle

So  AC = 2BC  =  2(1)  =   2

Similarly in triangle  DAC  

Side AC is opp a 30°  angle

Side AD  is opp  a 90° angle

So  AD  = 2AC  =  2(2)  =  4    =   x

Area of Rectangle  - Area of Hole   =

(x + 7) ( x + 5)  -  (2x - 7) ( x + 2)  = 

x^2  + 12x  + 35   -   [ 2x^2  -3x  - 14 ]   =

x^2  + 12x  +  35  -  2x^2  + 3x  + 14  =

-x^2  +  15x  +  49

Let one integer =  x

Let  the other  =  2x  -  55

So

x^2   +  (2x  - 55)^2    =   185

5x^2  -  220x  +  3025   =185

5x^2  -220x  +   2840  =  0

The  discriminant    is

220^2   - 4 * 5 * 2840    =  -8400

So.......this has  no real solution

OK....THX  !!!!