CPhill

Let  r  be  the common ratio

So

18/16  =  r^2

9/8   = r^2

3 / (2sqrt 2)  =  r

So

b =   18 ( 3   /  (2sqrt 2) )  =     27 / sqrt 2   =   27 sqrt (2)  /2   =  13.5*sqrt (2)

The  radius  of  25  will be  the slant height of the  cone

The  circumference of the  cone's  base =   2pi  (25)   *  32 / 36  =  400pi  /  9

The radius  of  the cone  =    (400pi / 9)  / (2pi)   =  400/18 =  200/9

Using  the Pythagorean Theoren, the height of  the  cone =   sqrt  ( 25^2  -  (200/9)^2  )   =  (25./9)sqrt 17

Volume of cone   =  (1/3)pi  *[ 200/9]^2 *  [ (25/9)sqrt 17 ]  ≈  5922.8 units^3

Let  x =  the  equal sides  and  y  =  the remaining side

We  have  the  feasible region defined  by

2x + y  =  30

2x  >  y

x + y > x

See  the  graph here :  https://www.desmos.com/calculator/brjqinmutc

6 triangles

8 - 8 - 14

9 - 9 - 12

11 - 11  - 8

12 - 12 - 6

13 - 13 - 4

14 - 14 - 2

xy  - z    =  15

xz  - y    =  15

yz  - x =     15

Subtract  the  2nd equation from the 1st

xy - xz  + y - z   =   0

x (y -z)  + 1(y -z)   =  0

(x + 1)  ( y - z)  =  0                          since x is positive, divide both sides  by  (x + 1)

y - z   =   0

y  = z

Subtract  the  3rd  equation from the  2nd

xz - yz  + x - y =  0

z (x - y)  + 1(x - y)   = 0

(z + 1) ( x - y)   = 0                  again, z is positive,  divide both sides by (z + 1)

x - y   = 0

x = y

So   x = y =  z

In the 1st equation  we  have  that

x^2  - x =  15

x^2 - x  + 1/4   =  15  + 1/4

(x - 1/2)^2  = 61/4

x - 1/2  =   sqrt (61) / 2

x =  ( 1 + sqrt (61) ) / 2

So

xyz =    [  ( 1 + sqrt (61) ) /2  ] ^3    =    23  +  8sqrt (61)

Let  the  smaller amt = x        and  the larger amt =  2x

So

3x +  117  =  2 (2x)

3x  + 117   =  4x

117  =  x

The  money  will  be  divided  as     x :   2x    =           117   :   234

(x +  4)  / ( x + 5)  = ( x + 5)  / (2x)      cross-multiply

2x ( x + 4)  =   ( x + 5) ( x + 5)

2x^2  + 8x  =   x^2  + 10x  + 25       rearrange  as

x^2 - 2x    =    25                complete  the square on x

x^2  - 2x   + 1   =  25 +  1

(x - 1)^2  =   26             take  both roots

x  - 1  = ±sqrt (26)

x =   1  ±  sqrt (26)

First  series

First term  = 12

Common ratio  = 4/12  = 1/3   =  r

Sum  =  12  / ( 1 - 1/3)  =   12/ (2/3)  =   18

Second series

First term  =   16

Common  ratio   ( 2 + n)  /16

Sum  =      16   /   [ 1 - (2 + n)/16 ]    =  72

Simplify

16   /  [  (14 - n)  / 16 ]   =  72

256  / ( 14 - n)   =  72

256  =  72 ( 14  - n)

256  = 1008  -  72n

72n =  1008  - 256

72n  = 752

n =  752/72  =   94/9

C  = 

[ 14  +  (1/2)(14 - 2)   ,   4 + (1/2) ( 4 - -2)  ]  =

[ 14  + (1/2)(12)   ,   4  + (1/2) (6)   ]  =

[ 14 + 6  ,    4  + 3   ] =

( 20 , 7 )

9x  +  7y   =   330

The slope of  this line =  - (9/7)

So

y = (-9/7)(x - 9)   - 3

y  = (-9/7)x  + 81/7  - 3

y =  (-9/7)x  + 81/7  - 21/7

y = (-9/7) x  +  60/7      

7y   =  -9x  + 60

9x + 7y   =   60

Angle AEG  = angle EGF  =  x

And  because  EF  = FG , then angles  EGF  and GEF  are  equal  =  x

So

angle   BEF  +  angle GEF  +  angle  AEG  = 180

So

130 + x   + x  +  x   =  180

3x  + 130   =  180

3x   =180  -130

3x  =   50

x  = (50/3)°   =   (16 + 2/3)°