CPhill

In  the end, each  had     144/3  =    48  erasers

So   Charlie   had  24  erasers  before   getting  24  from  Bill

And   Bill   must  have  had    ( 48  + 24)  =   72  erasers  before  he gave  some to  Charlie

So.....Bill  must have  had  36  erasers  to  start out

Then   Alan must  have started out  with     48 +  36  =  84  erasers

Proof

Alan  starts with 84  and gives away  36  =   he  has 48  in the end

Bill   starts  with 36  gets 36  from Alan and  gives away  24 =  36 + 36 - 24  =   he  has  48 in the end

Charlie  starts out  with  24  and   ends up  with   twice this =  48

Each  day.....the snail   gains      (1/4   -1/10)m    = (.25 - .10),  =   .15m

So.....the  number of days  to  reach   the  top  =   3/.15  =   20 days

So....the  snail gets out  of the  well  on the 21st   day.....!!!!

The y intercept  occurs  where  x  = 0

So........we actually have

y^2  - 10y  + 25  = -11  + 2y         rearrange  as

y^2  - 12y  +  36   = 0     factor as 

(y  -6) ( y - 6)  = 0

(y - 6)^2   = 0

y - 6 =  0

y  =  6     = the y intercept  =      (0, 6)

x^2  +  6x  + y^2  +  6y  =  78      complete the square on x  and  y

x^2  + 6x + 9  + y^2  + 6y  + 9   = 78   + 9 + 9

(x + 3)^2    +   ( y + 3)^2      =  96

The center   is     ( -3 , -3)

1  +  7  +  13  +  19.........+  253    +  259

(1  + 259)   +  ( 7 + 253)  +  .......

We  have      ( 259 -1 )  / 6   + 1   =   44  terms

22 pairs of  them each sum to  260

So

22   *  260   =     5720

An even  number  whose  digits  sum to a multiple of  3  will be  divisible by  6

So

5718  digit sum  =  21   =   multiple of  3   thus divisible by 6

So

5720  /  6       leaves a remainder of 2

Ur  Welcome   !!!!!

Hard  to read  but I believe  we  have  the  points

(3,10)  (4, 17)   ( 5, 26)   ( 6, 37)   and  ( 7 , 50)       on  f (x)

f^-1 ( 50)  =  7

f^-1   (10)  =  3

f^-1 ( 26) =  5

So.....    ( 7 * 3  +  5)  =  26

So

f^-1 ( 7 * 3 + 5)   =    f^-1 (26)   =  5

For  the  last one......see if this helps  :    https://themathpage.com/aTrig/sum-proof.htm

(b)

cos  a   =  AC  /1    ⇒      AC   =cos   a

sin a  = BC  /  1    ⇒   BC   =   sin a

cos b   =  1 / AD   ⇒   AD  =  1/ cos b  ⇒   AD  =  sec  b

tan b =   BD  / 1     ⇒     BD  = tan  b

Not sure  about  the last  two.......but here's  what I  get

angle  a  =   angle  FDB .......so  

sin  a   =   sin  FDB

sin a   =    BF  / DB      

sin a  =  BF  /  tanb    ⇒     sin a tan b   =  BF  

Similarly

cos  a  =  cos   FDB

cos  a   =   DF /  DB    

cos  a  =  DF / tan  b   ⇒   cos a  tan b   =    DF

I can do a few

(a)  Angles   BCA   and  DFB     = 90

      Angle DBA   = angle  FBC  = 90

Angle DBA   =Angle  DBF  +  Angle FBA

Angle FBC  =  Angle ABC  +  Angle  FBA

Which implies  that angles  DBF  and ABC  are equal

Thus.....by AA congruence.....triangle ABC  is similar to triangle DBF