CPhill

t^2 -9t - 36 + t^2 - t + 24         simplify

2t^2 - 10t - 12

The t that produces the minimum is     -(-10) / (2 * 2)  = 10 / 4  =  5 / 2  =  2.5

Here   :   https://web2.0calc.com/questions/geometry_57153

Circumradius =   product of the sides  / [ 4 * area  ]

Product of the  sides = (29)^2 * 40  =  33640

Height of triangle =  sqrt (29^2 - 20^2)  =   sqrt (441)  = 21

Area =  (1/2) base * height =   (1/2) (40) (21)  = 420

4*area =  1680

Circumradius =  33640  /  1680   ≈   20.02

The parabola tuurs upward and  has roots at   x = -2  and  x = 2

So  we have

(x + 2) (x - 2) > 0

x^2 - 4  > 0

b =  0

c =  -4

b + c =  0 - 4  =  -4

Set the equations equal

2x^2  - 7 =  -x^2  - x + 1     simplify

3x^2 + x - 8   =  0

Using the quadratic formula

x   =     -1   ±√ [1^2 - 4 (3) (-8) ]                -1 ±√ 97

            ____________________ =        ________

                         2 * 3                                     6

c - a  =  2√97 / 6  =    √97  /   3

                                    Cracked           Not Cracked          Total

One Peanut                    18                      54                       72

Two Peanuts                   26                     71                       97

Three Peanuts                                           5                         5

                                     ________________________________

                                        44                    130                     174   

P(shell is  cracked )=  44 / 174 =    22 / 87 

P(not cracked and  contains 2 peanuts)  = 71 / 174

P (not cracked or  contains 2 peanuts  ) =  P(not cracked) + P (2 peanuts) - P(not cracked and 2 peanuts)  =

(130) / 174   +  (97)/174  = (71) / 174 =   156 / 174  =  78 / 87  = 26 / 29 

P not cracked given 2 peanuts)  =   71 / 97

Partial Fractions

Note that      x^2 - x - 2 =   (x + 1) (x - 2)    multiply through by these two factors and we  get

2x - 17 = A(x + 1)   + B(x - 2)       simplify

2x - 17 =  (A + B) x  + [ A - 2B]

Equate terms

A + B = 2                 (1)

A - 2B = -17    →   -A + 2B  = 17    (2)

Add (1)and (2)  and we get

3B = 19

B = 19 / 3

And

A + 19/3  = 2

A = 2 - 19/3

A = 6/ 3  = 19 / 3   = -13  / 3

(A , B) =  (-13 /  3  , 19 /  3)

x/4  + y/18 =  1

If a is the x intercept then y = 0   so

x /4  = 1

x = 4*1  = 4

If b is the y int, then x=  0  so

y/18 = 1

y = 18

Slope =   [ 18 - 0 ] [ 0 - 4 ] =  - 18 / 4 =   -9  / 2  =  -4.5

a + b + m  = 

4 + 18 - 4.5   =    17.5

Let O be the center of the circle....draw  radii OA and OB =  18

Triangle OAB will be isoceles with angle AOB   =  180 - 2*42 =  180 = 84  = 96°

By the Law of Sines

AB  /sin 96°  =  OB  /sin 42°

AB / sin 96° = 18 / sin 42°

AB =  18 * sin (96°) / sin 42°  ≈  26.75

Note that  120 - sqrt (x^2)   must be  a perfect square

Perfect squares

 0                          x =  ±  120

1                           x =   ± 119

4                           x =   ± 116

9                           x =   ± 111

16                         x =   ± 104

25                         x =    ±   95

36                         x =    ±   84

49                         x  =  ±    71

64                         x =   ±    56

81                         x  =  ±    39

100                       x =  ±     20

22 values