CPhill

Let  the altitude of 1/3 be drawn to side A  

Let the altitude of 1/4 be drawn to side B   

Let the altitude of 1/6 be drawn to side C   

Equating areas

(1/2) (A) (1/3)  = (1/2)(B)(1/4)  →   B = (4/3)A

(1/2)(A) (1/3)  = (1/2)(C)(1/6)  →   C =  (2)A

The semi-perimeter  =  (A + (4/3)A + (2)A )  / 2  =     (13/6) A  

Using Heron's Formula

Area =  sqrt  [   (13/6)A *  [ (13/6)A - A ] * [ (13/6)A - (4/3)A ] * [ (13/6)A - 2A ]  ]  =

sqrt  [  A^4  (13/6)  (7/6) (5/6) ( 1/6)  ]   =

A^2 sqrt  [ 455 ]  /  36 

Equating areas

(1/2)A (1/3)  =  A^2  sqrt [ 455]  / 36

(1/6)A  = A^2 sqrt [ 455] / 36

(1/6)  = A sqrt [ 455 ]  / 36

6  /sqrt [ 455]  =  A

The area is   (1/2) (6 / sqrt [455])  ( 1/3)  =     1/ sqrt 455 units^2  ≈   .0468 units^2

145 cm    =   1450mm

9 cm =  90 mm

Volume of 10  pencils =  10 pi (4.5)^2 * 145  ≈  92,245 mm^3

Volume of box  =   1450^2 * 90   = 189225000 mm^3

floor  [ 189225000 / 92,245 ]  = 2051 packages 

The greatest distance = the body diagonal  of the cube

8 =  sqrt  ( s^2 + s^2 + s^2)

8 =  sqrt (3 s^2)

8  =  s sqrt (3)

s  =  8 /sqrt (3)

Volume =  side^3 =    (8/sqrt (3))^3  =  [(512) / 3]  / sqrt 3  =    (  512sqrt(3)   / 9 )   in^3

x^4  + 4x^2   >  -4

x^4 + 4x^2  + 4 >  0

(x^2 + 2)^2  > 0

all  x values make this true

x^4 + 4x^2 < 21 + 8x^2

x^4 - 4x^2 - 21 <  0

(x^2 -7) ( x^2 + 3) <  0

The  interval   ( -sqrt 7  . sqrt 7 )  makes this true...and this  is the solution

r = sqrt [ (- 3 )^2 + 5^2 ]  =  sqrt [ 34]

sin   = y/ r =  5/sqrt (34) =    (5/34)sqrt (34)

csc  = r/ y =   sqrt (34) / 5

cos =x / r =  -3/sqrt (34)  =   (-3/34) sqrt (34)

sec = r / x =  -sqrt (34) / 3

tan  =  y/ x =  5/-3 =  -5/3

cot =  x /y =  -3/5

3.8 * 4.2  =   15.96 miles   ≈   16 miles

             P                                       

            120                                   

A  30            30   B 

    75            75

            30

             Q   

PAQ  =  PAB  + BAQ  =   30°  + 75°    =   105°

1/3  <  M/30  < 5/3

1/3 < M /30                         and          M/30  < 5/3

30 (1/3) < M                                        M <  (30) (5/3)

M > 10                                               M < 50

Number  of integers   =   (49 - 11) + 1 =   39

(1/2) ((2/3 * 3/4) * (2/3 * 3/4) )

(2/3 * 3/4)     =   ( 2/3 - 3/4)   / ( (2/3)^2 + (3/4)^2 )   =   (-1/12) / ( 4/9 - 9/16)  = ( -1/12) / ( -17/144)  =

12/17

So

(1/2) * ( 12/17 * 12/17)   =  (1/2) * ( [ 12/17 - 12/17 ]  / [ (12/17)^2 + (12/17)^2 ])  =  (1/2) * 0 =

(1/2 - 0 )  / [ (1/2)^2 + 0^2 ]   =   (1/2)  / (1/4)  = ( 4/1)  * (1/2)  =  4/2    = 2 

The denominator  cannot = 0

So   x^2  -7x +6 =  (x -6) (x - 1)     so  x cannot  be  1 , 6

Also  x^2 - 7x + 6  must be ≥  0

So

(x -1) (x -6) ≥  0

This  is true  whenever    x < 1     and  x > 6

So

The domain is   ( -inf , 1)  U ( 6  ,inf)