heureka

7^x mod 23=8

$$\\ 7^{20+0*22} \mod 23 = 8 \\
7^{20+1*22} \mod 23 = 8 \\
7^{20+2*22} \mod 23 = 8 \\
... \\
7^{20+n*22} \mod 23 = 8 \\
\boxed { 7^{20+n*22} \mod 23 = 8 \quad n\ge 0 \quad x = 20+n*\phi(23) \quad \phi{(23)} = 22
}$$

$$\phi{()} = Eulers\ phi-function$$

5(19) = 800 + 450 ln (3(19)+e)  ?

e = 2.71828182845904523536028747135266249775724709369995... // Euler number

$$S(19) = 800 + 450* \ln{(3*19+ 2.71828182846 )} \\
S(19) = 800 + 450* \ln{(57+2.71828182846 ) } \\
S(19) = 800 + 450* \ln{ (59.7182818285) } \\
S(19) = 800 + 450* 4.08963820180 \\
S(19) = 800 + 1840.33719081 \\
S(19) = 2640.33719081 \\
S(19) \approx 2640$$

Hi Melody,

it is not reasonable to set  $$1^x=e^{x\times ln(1)}$$,

but in general it is easier to integrate $$e^x$$

integration of 1^x

$$\int{1^x}\ dx \ ?$$

  $$\begin{array}{llr}
set & \quad 1^x=e^ { x \times \ln{(1)} } & \qquad \ln{(1)} = 0\\
so & \quad 1^x=e^ { x \times 0} & \qquad x\times0= 0\\
so & \quad 1^x=e^0 & \qquad e^0=1\\
so & \quad 1^x=1
\end{array} \\
\int{1^x}\ dx = \int{1}\ dx = x + c$$

Gegeben ist die Scheitelpunktform der Parabel $$y=a(x-x_s)^2+y_s$$.

Der Scheitelpunkt $$S(x_s,y_s)$$ hat die Werte $$x_s=-\frac{1}{2} \ und \ y_s =-\frac{1}{3}$$ 

$$a$$ hat den Wert $$a=-\frac{1}{4}$$

Gesucht ist die Polynomform $$(x-x_1)(x-x_2)$$

Wir suchen die Nullstellen $$x_1 \ und \ x_2$$

Berechnung der Nullstellen:

Wir setzen in die Scheitelpunktform  $$y=0$$  ein und lösen dann nach x auf.

$$a(x-x_s)^2+y_s = y \quad | \quad y=0 \\\\
a(x-x_s)^2+y_s = 0\quad | \quad -y_s \\\\
a(x-x_s)^2 = -y_s \quad | \quad :a \\\\
(x-x_s)^2 = -\frac{y_s}{a} \quad | \quad \pm\sqrt{} \\\\
x_{1,2}-x_s =\pm
\sqrt{
-\frac{y_s}{a}
} \quad | \quad + x_s \\\\
x_{1,2} =x_s\pm\sqrt{ -\frac{y_s}{a} } \\\\
\boxed{x_1 =x_s+\sqrt{ -\frac{y_s}{a} } }
\boxed{x_2 =x_s-\sqrt{ -\frac{y_s}{a} } }$$

Nun können wir die Polynomform bestimmen und setzen dazu $$x_1 \ und \ x_2$$ mit den gegebenen Werten:

$$\left[
x-x_1\right] \left[
x-x_2\right] =
\left[
x- \left(x_s+\sqrt{ -\frac{y_s}{a} } \ \right)
\right]
\left[
x- \left(x_s-\sqrt{ -\frac{y_s}{a} } \ \right)
\right]\\\\$$

$$\left[
x- \left( -\frac{1}{2} +\sqrt{ -\frac{ -\frac{1}{3} }{ -\frac{1}{4} } } \ \right)
\right]
\left[
x- \left( -\frac{1}{2} -\sqrt{ -\frac{ -\frac{1}{3} }{ -\frac{1}{4} } } \ \right)
\right] \\\\
= \left[
x- \left( -\frac{1}{2} +\sqrt{ -\frac{ 4 }{ 3 } } \ \right)
\right]
\left[
x- \left( -\frac{1}{2} -\sqrt{ -\frac{ 4 }{ 3 } } \ \right)
\right] \\\\
= \left[
x+\frac{1}{2} -\sqrt{ -\frac{ 4 }{ 3 } } \right]
\left[
x+\frac{1}{2} +\sqrt{ -\frac{ 4 }{ 3 } } \ \right] \\\\$$

Die Polynomform lautet: $$\boxed{\left[
x+\frac{1}{2} -\sqrt{ -\frac{ 4 }{ 3 } } \right]
\left[
x+\frac{1}{2} +\sqrt{ -\frac{ 4 }{ 3 } } \ \right] }$$

wie berechnet man am einfachsten aus dem scheitelpunkt und punkt p die funktionsgleichung f(x)=a(x-d)²+e  ?

Gegeben ist der Scheitelpunkt $$S(d,e)$$ und der Punkt $$P(x_p,y_p):$$

Gesucht ist die Gleichung: $$f(x)=a(x-d)^2+e$$

Wir setzten in die Gleichung S und P ein und berechnen damit die fehlende Konstante $$a$$:

$$f(x) = y_p \quad x = x_p \qquad \Rightarrow\qquad y_p = a(x_y-d)^2+e$$ 

Jetzt lösen wir die Gleichung nach der Unbekannten a auf:

 $$y_p = a(x_y-d)^2+e \quad | \quad -e \\\\
a(x_y-d)^2 = y_p-e \quad | \quad : (x_y-d)^2 \\\\
a = \dfrac{y_p-e}{(x_y-d)^2}$$

Ist der Scheitelpunkt S(2,-1) d. h. $$d=2 \ und \ e = -1$$ gegeben und ein Punkt P(1,2) d. h.$$x_p = 1 \ und \ y_p = 2$$ gegeben, so errechnet sich a zu:

$$a = \dfrac{y_p-e}{(x_y-d)^2} \\\\
a = \dfrac{2-(-1)}{(1-2)^2} \\\\
a = \dfrac{2+1}{(-1)^2} \\\\
a = \dfrac{3}{1} \\\\
a = 3$$

Die Gleichung würde dann lauten: $$\boxed{y=3(x-2)^2-1}$$

Siehe die Grafik:

Die Parabel geht durch den Scheitelpunkt S(2,-1) und durch den Punkt P(1,2)

given the simultaneous equation below find x and y

1.  x-11=-54  | + 11

     x      = -54 + 11

     x      = -43

2.  6x-7y=41

     6*(-43) - 7y = 41

           -258 -7y = 41 | +258

                    -7y = 41 + 258

                    -7y = 299 | : -7

                        y = - 42 5/7

Die Seite eines Quadrates wird um 4cm und die andere um 6cm verlängert. Das entstehende Reckteck hat eine um 56% größere Fläche. Berechne die Seiten des Recktecks

I. Quadrat Fläche  = $$A_{Quadrat} = x^2$$

Rechteck Fläche = $$A_{Rechteck} = (x+ 4\ cm)*(x+6\ cm)$$

II.

$$\dfrac{A_{Rechteck}}{A_{Quadrat}}=1.56$$

$$\small{
\begin{array}{rcl}
\dfrac{ (x+ 4)*(x+6) } {x^2} &=& 1.56 \\\\
(x+ 4)*(x+6) } &=& 1.56x^2\\\\
x^2 + 6x+4x +24 &=& 1.56x^2\\\\
x^2 + 10x +24 &=& 1.56x^2\\\\
0.56x^2 - 10x - 24 &=&0 \quad | \quad : 0.56\\\\
x^2 - \frac{10}{0.56}x - \frac{24}{0.56} &=&0\\\\
x^2 - \frac{1000}{56}x - \frac{2400}{56} &=&0\\\\
x^2 - \frac{125}{7}x - \frac{300}{7} &=&0\\\\
x_{1,2} &=& \frac{125}{14}\pm \sqrt{ \frac{125^2}{14^2} + \frac{300}{7} * \frac{2}{2} * \frac{14}{14} } \\\\
x_{1,2} &=& \frac{125}{14}\pm \frac{\sqrt{24025}}{14} \\\\
x &=& \frac{125+\sqrt{24025}}{14}\\\\
x &=& \frac{125+ 155 }{14}\\\\
x &=& \frac{280 }{14}\\\\
x &=& 20
\end{array}
}$$

Rechteck: kurze Seite = x + 4 cm = 20 cm + 4 cm = 24 cm

Rechteck: lange Seite = x + 6 cm = 20 cm + 6 cm = 26 cm

Triangle LMN has vertexes at L(-1, -6), M(1, -6), and N(1, 1). Find the measure of angle N to the nearest degree. Answer D)

I.

$$\\ \overline{LM}=
\sqrt{
{[ (-1)-(1) ]}^2
+
{[ (-6)-(-6) ]}^2
}
=
\sqrt{
{( -2) }^2
+
{(0) }^2
}
=2 \\\\
\overline{MN}=
\sqrt{
{[ (1)-(1) ]}^2
+
{[ (-6)-(1) ]}^2
}
=
\sqrt{
{( 0 )}^2
+
{ (-7) }^2
}
=7 \\\\
\tan{(N)} = \dfrac{\overline{LM}}{\overline{MN}}=\frac{2}{7}\\\\
N=\tan^{-1}{(\frac{2}{7})} = 15.9453959009\ensurement{^{\circ}}\approx 16\ensurement{^{\circ}}$$

The answer is D) $$16\ensurement{^{\circ}}$$

e^x=2 what is x

$$\boxed{e^x = \ a^ { \dfrac{x}{\ln{(a)}} } = 2^ { \dfrac{x}{\ln{(2)}} }} \\ \\
e^x=2\\\\
2^ { \textcolor[rgb]{1,0,0}{\dfrac{x}{\ln{(2)}} } } } = 2^\textcolor[rgb]{1,0,0}{1} }\\\\
\textcolor[rgb]{1,0,0}{\dfrac{x}{\ln{(2)}} } } = \textcolor[rgb]{1,0,0}{1} \\\\
x=\ln{(2)}$$