heureka

Folgendes Problem: Ich habe 20 Stück 100-seitige Würfel.

Wenn man mit einem Würfel eine 40 oder darunter würfelt, wird der Wurf als ,,Erfolg" gezählt.
Die Würfel sind natürlich nicht gezinkt.^^
Meine Frage ist jetzt:

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit mindestens die Hälfte der 20 Würfel mit ,,Erfolg" zu werfen.

1.

Ich nehme an, das die Augenzahl der Würfel von 1 bis 100 gehen.

Die Frage kann auch so formuliert werden. Ich habe einen 100-seitigen Würfel und werfe 20 mal.

Die Wahrscheinlichkeit für einen Erfolg wären: 0.4

Die Wahrscheinlichkeit für einen Misserfolg wären: 0.6

\(\begin{array}{|rcll|} \hline P(X\ge10) &=& 1-P(X\le9) \\ &=& 1-\text{binomcdf}(20,0.4,9) \\ &=& 1-0.75533720332 \\ \mathbf{P(X\ge10)} & \mathbf{=} & \mathbf{0.24466279668} \\ \hline \end{array}\)

Die Wahrscheinlichkeit mindestens die Hälfte der 20 Würfel mit ,,Erfolg" zu werfen beträgt \(\approx24,47 \%\).

2.

Lieber wäre es mir jedoch, wenn mir jemand eine allgemeine Formel nennen könnte,
mit der ich mir berechnen kann wie oft beim einmaligen werfen der 20 Würfel:
19 Erfolge und 1 Misserfolg;
18 Erfolge und 2 Misserfolge,
17 Erfolge und 3 Misserfolge,....usw.
herauskommen könnten.

\(\begin{array}{|r|r|l|} \hline \text{Erfolge} & \text{Misserfolge} & \text{Wahrscheinlichkeit} \\ \hline 20 & 0 & \binom{20}{20}0.4^{20}0.6^{0} \\ \hline 19 & 1 & \binom{20}{19}0.4^{19}0.6^{1} \\ \hline 18 & 2 & \binom{20}{18}0.4^{18}0.6^{2} \\ \hline 17 & 3 & \binom{20}{17}0.4^{17}0.6^{3} \\ \hline 16 & 4 & \binom{20}{16}0.4^{16}0.6^{4} \\ \hline 15 & 5 & \binom{20}{15}0.4^{15}0.6^{5} \\ \hline 14 & 6 & \binom{20}{14}0.4^{14}0.6^{6} \\ \hline 13 & 7 & \binom{20}{13}0.4^{13}0.6^{7} \\ \hline 12 & 8 & \binom{20}{12}0.4^{12}0.6^{8} \\ \hline 11 & 9 & \binom{20}{11}0.4^{11}0.6^{9} \\ \hline 10 & 10& \binom{20}{10}0.4^{10}0.6^{10} \\ \hline 9 & 11 & \binom{20}{9}0.4^{9}0.6^{11} \\ \hline 8 & 12 & \binom{20}{8}0.4^{8}0.6^{12} \\ \hline 7 & 13 & \binom{20}{7}0.4^{7}0.6^{13} \\ \hline 6 & 14 & \binom{20}{6}0.4^{6}0.6^{14} \\ \hline 5 & 15 & \binom{20}{5}0.4^{5}0.6^{15} \\ \hline 4 & 16 & \binom{20}{4}0.4^{4}0.6^{16} \\ \hline 3 & 17 & \binom{20}{3}0.4^{3}0.6^{17} \\ \hline 2 & 18 & \binom{20}{2}0.4^{2}0.6^{18} \\ \hline 1 & 19 & \binom{20}{1}0.4^{1}0.6^{19} \\ \hline 0 & 20 & \binom{20}{0}0.4^{0}0.6^{20} \\ \hline \end{array}\)

I need help with this one, is by the method of Undetermined Coefficients.

Maybe you can explain to me... 

4y''+9y=15

\(ay''+by=c\)

2 th-order differential equation: \(4y''+9y=15\)

1. characteristic equation:

\(\begin{array}{|rcll|} \hline 4\lambda^2 + 9 &=& 0 \\ 4\lambda^2 &=& -9 \\ \lambda^2 &=& -\frac{9}{4} \\ \lambda^2 &=& \frac{9}{4} \cdot(-1) \\ \lambda &=& \pm \frac{3}{2} i \\ \mathbf{\lambda} & \mathbf{=} & \mathbf{ \underbrace{0}_{=\alpha} \pm \underbrace{\frac{3}{2}}_{=\beta} i } \\ \hline \end{array}\)

2. Homogeneous Equations \(y_h =\ ?\)

\(\large{ \begin{array}{|rcll|} \hline y_h & =& e^{\alpha\cdot x}\Big(c_1\sin(\beta x)+c_2\cos(\beta x) \Big) \quad & | \quad \lambda \text{ complex!} \\ &=& e^{0\cdot x}\Big(c_1\sin(\frac{3}{2} x)+c_2\cos(\frac{3}{2} x) \Big) \\ \mathbf{y_h} &\mathbf{=}& \mathbf{ c_1\sin(\frac{3}{2} x)+c_2\cos(\frac{3}{2} x) }\\ \hline \end{array} } \)

3. Particular Solutions \(y_p = \ ?\)

\(\begin{array}{|rcll|} \hline y_p = c \qquad y_p^{'} = 0 \qquad y_p^{''} = 0 \\\\ 4y_p^{''}+9y_p &=& 15 \\ 4\cdot 0 +9 \cdot c &=& 15 \\ 9 \cdot c &=& 15 \\ c &=& \frac{15}{9} \\ \mathbf{c=y_p} &\mathbf{=}& \mathbf{\frac{5}{3}} \\ \hline \end{array} \)

4. \(y(x) = \ ?\)

\(\begin{array}{|rcll|} \hline y(x) &=& y_h + y_p \\ \mathbf{y(x)} &\mathbf{=}& \mathbf{ c_1\sin(\frac{3}{2} x)+c_2\cos(\frac{3}{2} x) + \frac{5}{3} } \\ \hline \end{array}\)

The first term of a geometric sequence is 729, and the 7th term is 64.

What is the positive, real value for the 5th term?

\(\text{GP Formula:}\\ \begin{array}{|llcll|} \hline \text{ $a =$ term }\\ \text{ $i,j,k = $ indices}\\\\ \large{ a_i^{j-k} \times a_j^{k-i} \times a_k^{i-j} = 1 } \\\\ & i = 1 & a_1 = 729 \\ & j = 7 & a_7 = 64 \\ & k = 5 & a_5 =\ ? \\ & j-k = 7-5 = 2 \\ & k-i = 5-1 = 4 \\ & i-j = 1-7 = -6 \\ \hline \end{array}\)

\(\begin{array}{|rcll|} \hline a_1^{2} \times a_7^{4} \times a_5^{-6} &=& 1 \quad & | \quad a_1 = 729 \quad a_7 = 64 \\ 729^{2} \times 64^{4} \times a_5^{-6} &=& 1 \\ 729^{2} \times 64^{4} &=& a_5^{6} \quad & | \quad ()^{\frac16} \\ 729^{\frac26} \times 64^{\frac46} &=& a_5^{\frac66} \\ 729^{\frac13} \times 64^{\frac23} &=& a_5 \\ 9 \times 16 &=& a_5 \\ \mathbf{a_5} & \mathbf{=} & \mathbf{144} \\ \hline \end{array}\)

Consider the arithmetic series:

-6 + 4 + 14 + 24 + ...

Write a formula for the sum of the first n terms in this series.

10n + 10

10n + 4

5n²−11n

5n²-11

\(\begin{array}{lrrrrrrrrrr} & -6 && 4 && 14 && 24 && \cdots \\ \text{1. Difference } && 10 && 10 && 10 && \cdots \\ \end{array} \)

Formula arithmetic series:

\(\begin{array}{|rcll|} \hline a_n &=& a_1 + (n-1)d \quad & | \quad a_1 = -6 \qquad d = 10 \\ a_n &=& -6 + (n-1)10 \\ a_n &=& -6 + 10n-10 \\ \mathbf{a_n} & \mathbf{=} & \mathbf{10n-16} \\ \hline \end{array} \)

Formula the sum of a arithmetic series:

\(\begin{array}{|rcll|} \hline s_n &=& \left(\dfrac{a_1+a_n}{2}\right) \cdot n \quad & | \quad a_1 = -6 \qquad a_n = 10n-16 \\ &=& \left(\dfrac{-6+10n-16 }{2}\right) \cdot n \\ &=& \left(\dfrac{10n-22 }{2}\right) \cdot n \\ &=& (5n-11)\cdot n \\ \mathbf{s_n} & \mathbf{=} & \mathbf{5n^2-11n} \\ \hline \end{array} \)

What is the sum of the positive integers that are solutions of $-3n +3 >-11?$

\(\begin{array}{|rcll|} \hline -3n+3 &\gt& -11 \quad & | \quad -3 \\ -3n &\gt& -14 \quad & | \quad :(-3) \\ n &\color{red}\lt& \frac{-14}{-3} \\ n &\lt& \frac{14}{3} \\ n &\lt& 4.\bar{6} \\ \hline \end{array} \)

positive integers:  \(n= 1,2,3,4\)

sum: \(1+2+3+4 =\mathbf{ 10}\)

Marina solved the quadratic equation $9x^2-18x-720=0$ by completing the square.

In the process, she came up with the equivalent equation $$(x+r)^2 = s,

$$where $r$ and $s$ are constants. What is $s$?

\(\begin{array}{|rcll|} \hline 9x^2-18x-720 &=& 0 \quad & | \quad :9 \\ x^2-2x-80 &=& 0 \\ (x-1)^2 -1-80 &=& 0 \\ (x-1)^2 &=& 81 \quad & | \quad (x-r)^2 = s \\ & & \quad & | \quad \mathbf{s=81} \\ \hline \end{array}\)

2. The terms $140, a, \frac{45}{28}$ are the first, second and third terms, respectively, of a geometric sequence. If $a$ is positive, what is the value of $a$?

\(\begin{array}{|rcll|} \hline a &=& \sqrt{140\cdot \frac{45}{28}} \\ a &=& 15 \\ \hline \end{array}\)

Let $C$ and $D$ be points on the semicircle with diameter $\overline{AB}$. If $AD = BC = 3$ and $CD = 7$,

then find the radius of the semicircle.

1. sin rule:

\(\begin{array}{|rcll|} \hline \dfrac{ \sin(180^{\circ}-2\varphi) } {7} &=& \dfrac{ \sin(\varphi) }{r} \\ \dfrac{2\sin(\varphi)\cos(\varphi)}{7} &=& \dfrac{\sin(\varphi)}{r} \\ \dfrac{2 \cos(\varphi)}{7} &=& \dfrac{1}{r} \\ \cos(\varphi) &=& \dfrac{7}{2r} \\ \hline \end{array} \)

2. cos rule:

\(\begin{array}{|rcll|} \hline 3^2 &=& r^2+r^2-2rr\cos(\varphi) \\ 9 &=& 2r^2(1-\cos(\varphi)) \\ \dfrac{9}{2r^2} &=& 1-\cos(\varphi) \quad & | \quad \cos(\varphi) = \dfrac{7}{2r} \\ \dfrac{9}{2r^2} &=& 1-\dfrac{7}{2r}\quad & | \quad \cdot 2r^2 \\ 9 &=& 2r^2 -7r \\ 2r^2 -7r -9 &=& 0 \\ r &=& \dfrac{7 \pm \sqrt{49-4\cdot 2\cdot (-9) } } {2\cdot 2} \\ &=& \dfrac{7 \pm \sqrt{49+72 } } {4} \\ &=& \dfrac{7 \pm \sqrt{121 } } {4} \\ r &=& \dfrac{7 \pm 11 } {4} \quad & | \quad r > 0\ !\\ &=& \dfrac{7 +11 } {4} \\ &=& \dfrac{18 } {4} \\ \mathbf{r} &\mathbf{=}& \mathbf{4.5} \\ \hline \end{array}\)

The radius of the semicircle is 4.5

2. What is the minimum value of the expression 

2x^2+3y^2+8x-24y+62 for real  \(x\)  and  \(y\)?

\(\begin{array}{|rcll|} \hline && 2x^2+3y^2+8x-24y+62 \\ &=& 2x^2+8x +3y^2-24y+62 \\ &=& 2(x^2+4x) +3(y^2-8y) + 62 \\ &=& 2[(x+2)^2-4] +3[(y-4)^2-16] + 62 \\ &=& 2(x+2)^2-8 +3(y-4)^2-48 + 62 \\ &=& 2(x+2)^2+3(y-4)^2-8 -48 + 62 \\ &=& 2(x {\color{red}+2})^2+3(y{\color{red}-4})^2 + 6\\ \hline \end{array}\)

We find global minimum:
\(\min\{ 2 x^2 + 3 y^2 + 8 x - 24 y + 62 \} = 6 \quad \text{at} \quad (x, y) = ( -2, 4)\)

1. What is the smallest whole number that has
a remainder of 1 when divided by 4,
a remainder of 1 when divided by 3,
and a remainder of 2 when divided by 5?

\(\begin{array}{|rcll|} \hline x &\equiv& 1 \pmod{4} \\ x &\equiv& 1 \pmod{3} \\ x &\equiv& 2 \pmod{5} \\ \hline \end{array}\)

\(\small{ \begin{array}{|rcll|} \hline x &=& 1\cdot 3 \cdot 5 \cdot \frac{1}{3 \cdot 5}\pmod{4} + 1\cdot 4 \cdot 5 \cdot \frac{1}{4 \cdot 5}\pmod{3} + 2\cdot 4 \cdot 3 \cdot \frac{1}{4 \cdot 3}\pmod{5} + 4\cdot 3 \cdot 5 \cdot n \ |\ n\in Z \\ \hline \end{array} }\)

\(\begin{array}{|rcll|} \hline && \frac{1}{3 \cdot 5}\pmod{4} \\ &\equiv& (3 \cdot 5 )^{\varphi(4)-1} \pmod{4} \quad & | \quad \varphi(4) =4\cdot (1-\frac12) = 2 \\ &\equiv& 15^{1} \pmod{4} \\ &\equiv& 15 \pmod{4} \\ &\equiv& -1 \pmod{4} \\ \hline \end{array}\)

\(\begin{array}{|rcll|} \hline && \frac{1}{4 \cdot 5}\pmod{3} \\ &\equiv& (4 \cdot 5 )^{\varphi(3)-1} \pmod{3} \quad & | \quad \varphi(3) = 2 \\ &\equiv& 20^{1} \pmod{3} \\ &\equiv& 20 \pmod{3} \\ &\equiv& -1 \pmod{3} \\ \hline \end{array}\)

\(\begin{array}{|rcll|} \hline && \frac{1}{4 \cdot 3}\pmod{5} \\ &\equiv& (3 \cdot 5 )^{\varphi(4)-1} \pmod{4} \quad & | \quad \varphi(4) =4\cdot (1-\frac12) = 2 \\ &\equiv& 15^{3} \pmod{5} \quad & | \quad 12 \pmod{5} \equiv 2 \pmod{5} \\ &\equiv& 2^{3} \pmod{5} \\ &\equiv& 8 \pmod{5} \\ &\equiv& 3 \pmod{5} \\ \hline \end{array}\)

\(\begin{array}{|rcll|} \hline x &=& 15 \cdot (-1) + 20 \cdot (-1) + 24 \cdot 3 + 60 n \quad|\quad n\in Z \\ x &=& -15-20+72+60n \quad|\quad n\in Z \\ \mathbf{x} & \mathbf{=} & \mathbf{37+60n \quad|\quad n\in Z } \\ \hline \end{array}\)

\(\mathbf{x_{min} = 37 \quad | \quad n=0} \)

The smallest whole number is 37