Man kann hier auch einige Grenzwert-Überlegungen anstellen, die recht schnell zeigen, dass es für "0/0" keine sinnvolle Antwort gibt:
Betrachten wir beispielsweise
\(lim_{x \rightarrow 0} \frac{x}{x}\)
Hier gehen sowohl Zähler als auch Nenner gegen 0, das Ergebnis wäre also quasi 0/0. Da aber Zähler und Nenner gleich sind, hat der Bruch stets den Wert 1, daher ist auch der Grenzwert 1. Daraus würde folgen: 0/0=1.
Betrachten wir aber folgenden Grenzwert:
\(lim_{x \rightarrow 0} \frac{x^2}{x}\)
Hier gehen ebenfalls Zähler & Nenner gegen 0, das Ergebnis ist also 0/0. Kürzt man, so erhält man für den Bruch den Wert x - was bei dem gegebenen Grenzwert ja gegen 0 geht. Also folgt auch 0/0 = 0.
Insgesamt folgt also 1=0, was offenbar nicht stimmt.
Folgender Grenzwert liefert nochmal ein anderes Ergebnis:
\(lim_{x \rightarrow 0} \frac{x}{x^2}\)
Wieder gehen Zähler&Nenner gegen 0, wieder 0/0. Kürzt man, kommt 1/x heraus, was bei gegebenem Grenzwert gegen unendlich geht. So folgt 0/0=unendlich. Wieder ein anderes Ergebnis!
Würde man im ersten Grenzwert noch eine beliebige Zahl als Vorfaktor einführen, so wäre genau dieser Faktor das Grenzwert-Ergebnis. So sehen wir: 0/0 hat sozusagen gleichzeitig alle Werte - jede Zahl UND unendlich bzw. negativ-unendlich. Das kann aber nicht sein - daher ist 0/0 nicht definiert.
Auf ähnliche Art kann man sich klar machen, warum \(\infty - \infty\) nicht definiert ist. Man betrachtet dafür Grenzwerte mit x gegen unendlich, beispielsweise von x-x, x2-x usw.
