c):
Für die Injektivität könnte man den gleichen Ansatz wie in a) verfolgen und würde wohl zum korrekten Ergebnis kommen. Es kann einem auch auffallen: Ist x=y, so ist das Bild stets (0; 0). Wir können also direkt zwei (oder mehrere) Elemente der Urbildmenge angeben, die das gleiche Bild haben, zB. (0, 0) und (1; 1). Also ist die Funktion nicht injektiv.
Für die Surjektivität halten wir zunächst fest: h(x) = (x-y; 2x-2y) = ( [x-y] ; 2[x-y] ). (Die eckige Klammer dient nur zur Verdeutlichung.)
Das zeigt uns: Der zweite Eintrag ist stets das doppelte des ersten Eintrags! Somit kann kein Element der Bildmenge, dessen zweiter Eintrag nicht das doppelte des ersten Eintrags ist, ein Urbild haben. Ein konkretes Gegenbeispiel ist (1; 3).
Abschließend möcht' ich nochmal betonen: Sowohl Surjektivität als auch Injektivität einer Funktion sind Aussagen, dass irgendwas für ALLE Elemente der Bild- oder Urbildmenge gilt. Sie sind daher auch allgemein nachzuweisen, es genügt nicht, zB. für Injektivität ein paar Urbilder anzugeben, deren Bilder unterschiedlich sind. Die jeweilige Negation, also Nicht-Injektivität bzw. Nicht-Surjektivität sind dann aber Aussagen á la "Es existiert...." , da reicht es also durchaus, nur ein Beispiel anzugeben. D.h., zwei unterschiedliche Elemente aus dem Urbildbereich, die das gleiche Bild haben, für Injektivität & ein Element aus dem Bildbereich, das kein Urbild hat. Viele sagen nur, dass es sowas gibt - geh da ruhig immer den letzten Schritt & schreib' einfach eins auf, wie in meinem letzten Satz oben das Gegenbeispiel (1; 3). So kannst du sicher sein, dass dein Beweis auch zuende geführt wurde.
