Probolobo

Du suchst die Anzahl der Möglichkeiten, die Zahl 2021 in genau fünf Summanden aufzuteilen, zB. 2021=200+200+200+200+1221. Das sind genau alle 5-Partitionen von 2021, bei denen die Reihenfolge berücktsichtigt wird. (Reihenfolge berücksichtigen macht Sinn, da die Reihenfolge festlegt, welches Eichhörnchen wie viele Nüsse bekommt. Das macht ja schon einen Unterschied.)

Für die Anzahl von k-Partitionen einer Zahl n gilt \(P(n, k) = \binom{n-1}{ k-1}\).

Wir suchen also \(P(2021,5) = \binom{2021-1}{5-1} = \binom{2020}{4} \approx 6,917 \cdot 10^{11}\).

Deine Vermutung zu (i) stimmt. Zu prüfen ist a_n+1 < a_n für alle natürlichen Zahlen n. Das ist hier eigentlich klar, denn der Nenner wird mit steigendem n stets kleiner & der Zähler ist konstant. Man sieht's aber auch durch Rechnung:

\(\frac{2}{3+(n+1)^2} < \frac{2}{3+n^2} \ \ |\cdot beide \ Nenner \\ 2(3+n^2) < 2(3+(n+1)^2) \ \ \\ 6+2n^2 < 2n^2+4n+8 \ \ -2n^2-6 \\ 0 < 4n+2\)

Die letzte Ungleichung ist äquivalent zur ersten und offenbar korrekt für alle natürlichen Zahlen n. Damit sind wir fertig.

Die Folge ist außerdem beschränkt, denn jedes a_n ist als Bruch mit positivem Zähler und positivem Nenner positiv - daher ist a_n>0 für alle n -> von unten beschränkt.

Weil die Folge streng monoton fallend ist, ist sie aber auch durch a₁ von oben beschränkt und daher beschränkt.

Für die Folge der b_n kannst du die 3. binomische Formel aus der 8. Klasse (oderso? ist ja egal) ausnutzen:

\(b_n = \frac{1-n^2}{1+n} = \frac{(1-n)(1+n)}{1+n} = 1-n\)

Diese Folge ist ebenfalls monoton fallend, denn 1-(n+1) = -n < 1-n. Sie ist nach oben beschränkt, denn b_n<1 für alle n, sie ist aber nicht von unten beschränkt und daher nicht beschränkt. 

Für den Prozentsatz teilst du den Anteil durch die Gesamt-Menge und verschiebst das Komma danach um 2 Stellen nach rechts. Ein Beispiel: Wenn in einem Orchester mit 50 Musikanten vier Trompeter spielen, so sind das 4/50=0,08 = 8% des Orchesters.

Bei dir geht's also so: 24kg/25kg = 0,96 = 96%.

Du kannst das ganze auch als Bruch darstellen und so erweitern, dass der Nenner 100 ist. Dann ist der Zähler der gesuchte Prozentwert:

\(\frac{24kg}{25kg} = \frac{24\cdot4}{25\cdot4} = \frac{96}{100} = 96\%\)

Wir können's auch ohne Baumdiagramm machen, dann wird's etwas ausführlicher - ich mach's dir mal für BBB (also 3x blau) vor, dann schaffst dus für RRR bestimmt selbst. Anschließend musst du nur beide Wahrscheinlichkeiten zusammenzählen.

Für BBB gehen wir wie folgt vor: 

Beim ersten Ziehen gibt's wie oben schon beschrieben 9R und 3B. Zusammen sind's 12 Kugeln. Die Wahrscheinlichkeit für B beim ersten Zug ist also 3/12.

Beim zweiten Ziehen gibt's noch 9R, aber nur 2B. Zusammen sind das noch 11 Kugeln. Daher ist die Wahrscheinlichkeit für nochmal B nur noch 2/11.

Beim dritten&letzten Ziehen gibt's immer noch 9R, aber nur 1B. Zusammen sind's 10 Kugeln. Die Wahrscheinlichkeit für B ist daher 1/10.

Da alles hintereinander passiert, ist die Wahrscheinlichkeit für BBB 3/12*2/11*1/10 = 1/220 = 0,0045 = 0,45%.

Für RRR kannst du das gleiche machen, anschließend werden wie schon erwähnt nur noch beide Zwischenergebnisse addiert.

Ich hoff das macht's klarar ;)

Erstelle dazu am besten zunächst ein Baumdiagramm und beschrifte es vollständig. Beachte: Da ohne Zurücklegen gezogen wird, ändern sich die Wahrscheinlichkeiten in jeder Stufe des Baumdiagramms. (ZB. ist die Wahrscheinlichkeit für R (rot) in der ersten Stufe 9/12, in der zweiten aber 8/11 oder 9/11, je nach dem ob R oder B gezogen wurde.)

Die Wahrscheinlichkeit, die du suchst, setzt sich zusammen aus zwei "Ast-Wahrscheinlichkeiten", nämlich dem Ast RRR und dem Ast BBB. Am Ende berechnest du also P=P(RRR)+P(BBB). Für die Ast-Wahrscheinlichkeiten werden die Wahrscheinlichkeiten an den einzelnen Abschnitten des Astes multipliziert. (Zur Kontrolle: Bei P(BBB) solltest du herausbekommen 3/12*2/11*1/10)

Ich hoff' das hilft, falls nicht frag' gern nochmal nach.

Das große Pi ist hier analog zum großen Sigma bei Summen als Zeichen für ein Produkt zu verstehen.

\(x=9 \cdot \Pi_{k=1}^{50} (2k-1)^2 = 9 \cdot (2\cdot1-1)^2 \cdot (2\cdot 2 -1)^2 \cdot (2\cdot 3-1)^2 \cdot ... \cdot (2 \cdot 50-1) = 9 \cdot 1^2 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \cdot ... \cdot 99^2\)

Mit dem großen Pi wird dieses recht längliche Produkt kompakt zusammengefasst.

\(\frac{3kg}{25kg} = 0,12 = 12\%\)

6560g : 82% = 6560g : 0,82 = 8000g

Klar, es wird ja stündlich verzinst.

Die gesuchte Zahl ist \(x=9 \cdot \Pi_{k=1}^{50} (2k-1)^2\). Der Grund dafür ist folgender: Die geraden Zahlen kürzen sich alle weg, das Ergebnis ist eine ganze Zahl und muss eigentlich kein Bruch mehr sein. Das Ergebnis ist das Produkt aller Quadrate ungerader Zahlen. Nach Erweitern mit 9 hat man's dann als Bruch mit Nenner 9 geschrieben.