Probolobo

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17 янв. 2022 г.
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9.3

Ich nehm' mal an, dass eine Ordnungsrelation bei euch Reflexivität, Antisymmetrie und Transitivität möchte. Antisymmetrie ist dabei: Ist (x, y) und (y, x) in der Relation, so muss x=y sein.


Für a) funktioniert das nicht: Mit x=1, y=2 und z=4 ist (x, y) in der Relation, (y, z) auch (denn 2-1 und 4-2 sind kleinergleich 2), aber (x, z) nicht, denn 4-1=3 ist nicht kleinergleich 2. Weil eine der Eigenschaften nicht erfüllt ist, ist sie keine Ordnungsrelation. (Antisymmetrie klappt auch nicht, kannst du ein Gegenbeispiel angeben?)

 

Die b) ist sogar eine, auch wenn ich's am Anfang nicht gedacht hätte:

Sie ist offenbar reflexiv, denn (x, x) ist für jede Zahl x in der Relation (weil x=x ist).

Sie ist antisymmetrisch, denn: Ist (x, y) und (y, x) in der Relation, aber x ist nicht gleich y, so muss x gerade sein & y ungerade, denn (x, y) ist in der Relation. Es muss aber auch y gerade und y ungerade sein, weil (y, x) in der Relation ist. Das kann aber nicht sein, also muss x=y sein.

Und sie ist transitiv, und jetzt wird's spannend:
Für Transitivität wollen wir zeigen: Ist (x, y) und (y, z) in der Relation, dann auch (x, z). Ist dabei x=y oder y=z, dann ist's trivial. Ist x=z, so ist wegen der Antisymmetrie auch y=z und jedes Tupel ist (x, x) und die Aussage wieder trivial.

Sind die Zahlen nun Paarweise verschieden, so muss aufgrund der Voraussetzungen (x, y) in der Relation sein und somit y ungerade sein, aber es muss auch (y, z) in der Relation sein und damit insbesondere y gerade. So etwas gibt es nicht. Daher kann nie ein Gegenbeispiel konstruiert werden und die Relation ist transitiv.

17 янв. 2022 г.
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17 янв. 2022 г.