Probolobo

Es gilt Punkt vor Strich:

1+2*4 = 1+8 = 9

Klar: Wir machen's Mit L'Hospital. Der sagt uns: Ableiten in Zähler & Nenner verändert den Grenzwert nicht. Ich nehm mal an, dass bekannt ist, dass die Ableitung von aⁿ genau ln(a)*aⁿ ist, das benutzen wir gleich.

Dann gilt:

\(lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n-2^n}{5^n+3n^2} = lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1-ln(2)\cdot 2^n}{ln(5)\cdot 5^n+6n} = lim_{n \rightarrow \infty} \frac{-ln(2)^2 \cdot 2^n}{ln(5)^2 \cdot 5^n +6} = lim_{n \rightarrow \infty} \frac{-ln(2)^3 \cdot 2^n}{ln(5)^3 \cdot 5^n} = lim_{n \rightarrow \infty} \frac{-ln(2)^3}{ln(5)^3} \cdot (\frac{2}{5})^n = 0\)

Im letzten Schritt ist dann klar, dass der Grenzwert 0 ist, denn der erste Faktor ist eine Konstante, beim zweiten ist (hoffentlich?) bekannt dass er gegen 0 konvergiert.

Das Problem mit den Mathe-Hausaufgaben könnte hier im Forum vermutlich gelöst werden, wenn du fleißig Fragen dazu stellst und dich konzentriert mit den Antworten auseinandersetzt. Für den Rest müsstest du dir wohl ein anderes Forum suchen.

Dann reicht's so würd' ich sagen.

Das sollte eigentlich ungefähr so passen, ja. Du könntest noch bei den Gleichungen, die die Folgenglieder definieren, jeweils ein "für alle natürlichen Zahlen n" anfügen, damit ganz klar ist, wie's gemeint ist. Also quasi sowas wie "Seien die Folgen (a_n)_n∈N und (b_n)_n∈N definiert durch" vorneweg.

Ich bin mir außerdem unsicher, ob du zu allen Folgen, die ich benutzt habe, noch nachweisen müsstest, dass sie den gewünschten Grenzwert haben. Es kommen aber nur Folgen vor, deren Grenzwert entweder klar ist und/oder deren Grenzwert du vermutlich aus der Vorlesung kennst, insofern ist das wahrscheinlich eher unnötig.

Wenn du willst kannst du deine Abgabe ja mal fertig machen & abfotografieren, dann kann ich dir sagen ob du bei mir alle Punkte bekommen würdest ;)

Übrigens, speziell falls das eine Hausaufgabe ist: Versuche zumindest, gut nachzuvollziehen, warum diese Lösungen korrekt sind. Blindes Abschreiben hilft dir höchstens, um Termine einzuhalten. Du könntest dir auch zur Übung noch zu jeder Teilaufgabe ähnliche Folgenpaare überlegen, keine der Lösungen ist eindeutig.

Freut mich sehr zu hören, danke! :)

a) (i):

Eine Möglichkeit wäre, die Folgen durch folgende Gleichungen zu definieren:

a_n=1/n²

b_n=1/n

Dann ist nämlich a_n/b_n = 1/n, was wieder eine Nullfolge ist. (Mach dir klar, dass die so definierten Folgen wirklich Nullfolgen sind!)

a) (i):

Sei p_n irgendeine Folge, die selbst gegen Pi konvergiert. Da gibt's mehrere, irgendeine werdet ihr in der Vorlesung wohl gesehen haben. Ansonsten kannst du da auch eine googlen.

Dann ist 

a_n=p_n/n eine Nullfolge. Mit b_n definiert wie oben ist der Quotient a_n/b_n=p_n und konvergiert daher wieder gegen Pi.

b) (i):

mit 

c_n=-1/n

d_n=n²

ist das Produkt c_nd_n=-n und konvergiert daher gegen -unendlich.

b) (ii):

mit 

c_n=1/n

d_n=an (a>0)

ist das Produkt c_nd_n=a konstant und konvergiert daher gegen a. Gesucht ist der Spezialfall a=5.

Mach dir jeweils klar, dass alle Folgen die geforderten Bedingungen erfüllen. Wenn was unklar ist frag' gern nochmal nach.

Bin nicht sicher ob das alle Lösungen sind, aber alle Zahlen-Tupel (x, p, q) = (0; 3^a ; 3^b) mit a+b=6 lösen die Gleichung. a+b müssen dabei natürliche Zahlen oder 0 sein, sonst sind's keine ganzzahligen Tupel mehr. Die Lösungen sind also

(0; 1; 729)

(0; 3; 243)

(0; 9; 81)

(0; 27; 27)

(0; 81; 9)

(0; 243; 3)

(0; 729; 1)

Was möchtest du denn zu dieser Gleichung wissen?