Probolobo

Wie in meiner letzten Antwort erwähnt gilt Prozenzwert = Prozentsatz * Grundwert.

Dementsprechend gilt auch Prozentsatz = Prozentwert / Grundwert.

Für die Aufgaben ist noch wichtig, dass die Einheiten zusammenpassen:

a) 15cm / 1m = 15cm / 100m = 0,15 = 15%

b) 10dm / 10m = 10dm / 100dm = 0,1 = 10%

c) 7mm / 14cm = 7mm / 140mm = 0,05 = 5%

d) 1500m / 6km = 1500m / 6000m = 0,25 = 25%

Es gilt hier immer Prozentwert = Prozentsatz mal Grundwert - und dann ist das eigentlich nicht so schwer.

Das bedeutet: 33 1/3 % = 100/3 % = 100/300 = 1/3, also Prozentwert = 1/3 * 360€ = 120€

12 1/2 % = 12,5% = 0,125 -> 0,125*800m² = 100m²

\(\frac{6}{10} \cdot 2500 = 1500\)

Für solche Fragen kannst du auch den Rechner benutzen.

Also ich seh', auf was es rausläuft, bin aber noch nicht sicher, wie ich's in voller Allgemeinheit zu Papier bekomm. 

Die "Chance", dass das Infizieren des kompletten Quadrates klappt, sinkt, wenn schon zu Beginn benachbarte Felder infiziert sind.

Es werden nur Felder infiziert, die neben zwei diagonal angeordneten infizierten Felder sind, also etwa so:

X  O       X  X

O  X  --> X  X

So entstehen nach&nach Rechtecke, die bei einem ein Kästchen breiten Zwischenraum auch noch verbunden werden. 

Betrachtet man den Umfang der infizierten Fläche (danke für den Hinweis ;) ), so ist zu erkennen, dass der mit jedem "Infektions-Schritt" bestenfalls kleiner wird. Bei der Entstehung der Rechtecke verändert er sich gar nicht, wenn sich zwei infizierte Flächen zusammenschließen oder "Löcher" in den infizierten Flächen gefüllt werden kann er kleiner werden. 

Der Umfang ist am Anfang maximal 4*9=36 groß (nämlich dann, wenn alle Felder "einzeln" im Quadrat liegen, also keine benachbart sind), das Quadrat hat aber gesamt den Flächenumfang 4*10=40. Da 40>36 kann nie das gesamte Quadrat infiziert sein.

-> So ungefähr stelle ich mir die Lösung vor. Ist an einigen Stellen noch etwas knapp, das seh' ich wohl ein, aber die Kernaussage müsste passen. Wie nah dran bin ich? ;)

Diese Aufgabe lässt sich gut Lösen, indem man die Zahlen durcheinander teilt und danach abrundet (immer abrunden, nie aufrunden!):

46:15 = 3,0667 -> Die 15 passt dreimal in die 46.

Alternativ kann man auch das 15-er Einmaleins durchgehen, bis man die 46 überschreitet:

1*15=15

2*15=30

3*15=45

4*15=60 - zu viel, daher: 15 passt 3 Mal in die 46.

Ich hoff ich les' die Angabe richtig: \(\frac{3}{4} \ von \ \frac{2}{3}kg\)  - dafür genügt es, die beiden Brüche miteinander zu multiplizieren. 

Merke dafür: Bruch mal Bruch = Zähler mal Zähler durch Nenner mal Nenner:

\(\frac{3}{4} \cdot \frac{2}{3} kg = \frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 3} kg = \frac{6}{12}kg = \frac{1}{2}kg\)

Im letzten Schritt habe ich noch mit 6 gekürzt.

DIe Aufgabe ist tatsächlich knifflig!

Klar ist schonmal, dass die Aussage mit 10 zu Beginn infizierten Feldern nicht stimmen würde - man betrachte beispielsweise die Startsituation mit den 10 infizierten Feldern auf der Diagonale.

Theoretisch könnte man hier natürlich mit roher Gewalt vorgehen und beispielsweise in Python ein Programm schreiben, welches einfach alle Lösungen durchprobiert und testet, ob am Ende irgendwo eine vollständig infizierte Matrix rauskommt. Ist nicht der Plan, das ist klar, würde aber gehen. 

Ich denk' später gern nochmal drüber nach, möcht aber vorab schonmal eine Frage zu der Aufgabe stellen: Gilt das allgemein, also für ein NxN-Quadrat mit N-1 infizierten Feldern? Intuitiv würde ich sagen "ja", aber das beweist ja noch lange nichts.

Schöne Aufgabe auf jeden Fall, danke dafür!

Schon klar, aber da ist doch ein Betrag drumrum, oder?
Lässt du den im zweiten Schritt nicht einfach weg?

Wenn da steht \(\overline{ z} = | \frac{1+3i}{1-3i} |\), dann wäre meine Lösung das was du machst, nur mit Betrag um alles in jedem Schritt, und daher am Ende \(\sqrt{0,8^2+0,6^2} = \sqrt1 = 1\). Vielleicht versteh' ich auch einfach nur den Aufgabentext falsch :D

Kann's sein, dass dein erster Schritt (also das Erweitern mit 1-3i) im Betrag stattfinden sollte und du um deine nächsten Zwischenergebnisse immer noch den Betrag schreiben müsstest? Dann wäre dein Endergebnis |-0,8+0,6i|=1.

Bin außerdem nicht sicher was in der Angabe mit dem "oberen Term" gemeint ist - falls damit der Zähler des Bruchs gemeint ist, müsste man den Zähler noch komplex konjugieren. Dann sind Zähler&Nenner gleich, der Bruch ist 1 und der Betrag von 1 ist auch 1.

(i) Für lineare Unabhängigkeit eignet sich folgender Standardansatz: x,y,z sind reelle Variablen. Dann betrachten wir folgendes Gleichungssystem:

xv1+yv2+zv3=0 (Nullvektor)

Aus der dritten Zeile folgt y=z.

Mit der letzten folgt aber auch 4y+z=0, also 5z=0, also y=z=0. dann folgt mit der ersten Zeile auch x=0, die Vektoren sind also linear unabhängig.

(ii) Sei v4=e1. Dann ist (v1, v2, v3, v4) eine Basis des R^4.

(iii) Es ist

e1=0v1+0v2+0v3+1v4.

e2=1v1+0v2+0v3-1v4.

e3=0,4v1-0,2v2+0,8v3+-1v4

e4=-0,4v1+0,2v2+0,2v3+0v4