Probolobo

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Erstmal zu deiner Annahme:

Käme in einem Polynom, dessen Graph achsensymmetrisch zur y-Achse ist (nicht zum Ursprung, das gibt's nicht), eine ungerade Potenz vor, dann würde sich beim bilden von f(-x) das Vorzeichen an dieser Stelle ändern - dann wäre f(-x) nicht gleich f(x) und daher die Funktion doch nicht achsensymmetrisch. Es folgt also: Ein achsensymmetrisches Polynom besteht nur aus geraden x-Potenzen.

Analog: Käme in einem Polynom, das punktsymmetrisch zum Ursprung ist, ein gerader Exponent vor, so würde sich das Vorzeichen an dieser Stelle beim Bilden von f(-x) nicht ändern, daher wäre f(-x) nicht gleich -f(x) und die Funktion doch nicht punktsymmetrisch. Es folgt: Ein punktsymmetrisches Polynom besteht nur aus ungeraden Exponenten.

 

Nun zur Aufgabe: 

Das Polynom hat wegen der punktsymmetrie, wie du schon ankündigst, die Form

f(x)=ax^5+bx^3+cx.

Wir wissen: Der Punkt (1|1) liegt auf der Funktion, also gilt:

1=f(1) bzw.

(I)  1=a+b+c  

 

Dieser Punkt ist außerdem ein Wendepunkt, also muss dort die zweite Ableitung null sein. Wir leiten also erstmal ab:

f'(x)=5ax^4+3bx^2+c

f''(x) = 20ax^3+6bx

Das liefert uns jetzt die Gleichung 0=f''(1), oder ausgeschrieben

(II)  0 = 20a+6b

 

Weiterhin ist bekannt, dass die Steigung dort -9 ist. Das liefert uns die Gleichung -9=f'(x) (Merke: Die Ableitung gibt die Steigung an!)

(III)  -9 = 5a+3b+c

 

Es ist also ein lineares Gleichungssystem mit drei Variablen entstanden, welches wir nun lösen müssen.

Ich fasse erstmal zusammen:

(I)  1=a+b+c  

(II)  0 = 20a+6b

(III)  -9 = 5a+3b+c

 

Die erste Gleichung lässt sich beispielsweise nach c auflösen, wir erhalten

c = 1-a-b.

Das setze ich nun in (III) ein - eigentlich auch in (II), aber da kommt c ohnehin nicht vor.

-9 = 5a+3b+1-a-b  |-1

(III)'   -10 = 4a+2b

(II)  0 = 20a+6b

 

Nun löse ich eine davon nach einer Variablen auf - ich entscheide mich hier für (III)' nach b, es ist aber eigentlich egal.

2b = -10-4a

b = -5-2a.

Das setze ich nun in (II) ein und erhalten einen Wert für a:

0 = 20a+6(-5-2a)

0 = 20a -30 -12a  |+30

30 = 8a

a = 30/8 = 15/4 = 3,75.

 

Das setze ich nun in b ein (rot markiert!):

b = -5-2*3,75 = -5-7,5 = -12,5

Und jetzt kommen a&b in unseren Term für c (auch rot!):

c = 1-3,75-(-12,5) = 9,75

 

Jetzt haben wir Werte für a, b, und c (grün) - diese kommen noch in den Funktionsterm und wir sind fertig:

f(x) = 3,75x^5-12,5x^3+9,75x

 

Diese Funktion hat die gewünschten Eigenschaften.

 

Ganz allgemein zu Aufgaben dieser Art: Die laufen immer gleich ab eigentlich, nämlich wie hier: Man schreibt zunächst die Funktion allgemein auf, also mit Variablen vor den x-Potenzen, versucht, die Angaben zur Funktion in Gleichungen zu übersetzen, und löst das entstehende Gleichungssystem. 

7 февр. 2021 г.
 #1
avatar+3976 
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5 февр. 2021 г.