Probolobo

Sieht alles super aus, gute Arbeit!

Man könnte höchstens noch erwähnen, dass der maximale Flächeninhalt dann 9,48 ist - das ist aber ja eigentlich auch so schon klar. Freut mich sehr, dass du mit diesem Aufgabentyp jetzt selbstständig klar kommst ;)

Es gilt 

Prozentsatz = Prozentwert durch Grundwert

Das bedeutet hier:

p = 28T/560T = 1/20 = 0,05 = 5%

(Um von der Dezimalzahl zur Prozent-Zahl zu kommen, musst du nur das Komma um 2 Stellen nach links schieben.)

Gleichsetzen ist auf jeden Fall der korrekte Ansatz. Wir erhalten folgende Gleichung:

x² - 4 = -0,5x² + 3x +0,5   | -x² +4

0 = -1,5x² +3x +4,5

Um diese Gleichung zu lösen, können wir die Mitternachtsformel benutzen:

\(x_{1/2} = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot (-1,5)\cdot 4,5}}{2 \cdot (-1,5)} = \frac{-3 \pm 6}{-3} \ \ \Rightarrow x_1 = -2; x_2 = 3\)

Die x-Werte unserer Schnittpunkte sind also -2 und 3.

Um die y-Werte zu finden, setzen wir die x-Werte in eine der Funktionen ein. (Du kannst sie auch in beide einsetzen, und dabei hoffentlich feststellen, dass das gleiche herauskommt. Falls nicht, sind die x-Werte falsch - eine leichte Methode, um die Korrektheit der Ergebnisse selbst zu verifizieren.)

f(x₁) = f(-2) = (-2)² -4 = 0

f(x₂) = f(3) = 3² -4 = 5

Damit haben wir die Schnittpunkte

S₁(-2|0) 

S₂(3|5)

Dafür gibt es viele Möglichkeiten. Eine Basis des R³ ist eine Menge aus drei linear unabhängigen Vektoren. Drei Stück sind's schonmal, die lineare Unabhängigkeit ist zu prüfen.

Falls dir die Determinante einer Matrix nicht bekannt ist, überspring' den nächsten Absatz ;)

Das würde am einfachsten gehen, indem man die Determinante der Matrix bestehend aus diesen Vektoren (als Spalten) bestimmt - ist sie null, sind die Vektoren lin. abhängig, ansonsten sind sie unabhängig.

Die Determinante hier ist (Regel von Sarrus)

4*2*1 + 0*(-2)*(-3) +2*1*(-2) -(-3)*2*(-2) -0*2*1 -4*1*(-2) = 8 + 0 -4 -12 +0 +8 = 0

Daher sind die Vektoren linear abhängig und bilden somit keine Basis.

Falls dir die Determinante unbekannt ist und der Begriff der Basis grad quasi frisch gelernt wurde, ist folgender Weg geeignet:

Linear unabhängig sind die Vektoren, wenn die Nulllösung die einzige Lösung für das Gleichungssystem

a₁*v₁ + a₂*v₂ + a₃*v₃ = 0 (Nullvektor)

ist.

Dieses Gleichungssystem kannst du beispielsweise mit dem Gauß-Algorithmus lösen. Die Nulllösung ist immer eine Lösung, gibt es aber auch eine andere, so sind die Vektoren linear abhängig und damit keine Basis. Man sieht hier:

v₁ + v₂ +2v₃ = 0

Es gibt also eine Lösung für dieses System, die nicht die Nulllösung ist. Daher sind die Vektoren linear abhängig und bilden keine Basis.

Zu guter letzt noch ein Weg, der nicht so gut funktioniert, der aber auch möglich ist:
Eine Basis muss ein minimales Erzeugendensystem sein. Minimal wäre unser System, weil's drei Vektoren sind. Man könnte hier aber auch versuchen zu zeigen, dass beispielsweise der Vektor (2, 2, 2)^T nicht von den gegebenen Vektoren erzeugt wird. Daher sind die Vektoren kein Erzeugendensystem und somit keine Basis.

Das Problem hierbei ist, dass es oft nicht so leicht ist, einen Vektor zu sehen, der nicht erzeugt wird. Deswegen sind die beiden oberen Verfahren zu empfehlen.

Denke eigentlich schon, dass er das kann

Gern geschehen, freut mich sehr wenn's hilft! :)

Ah, ja, hatte ich übersehen. Die Koordinaten von Q sollen ja beide positiv sein, daher muss der x-Wert zwischen 0 und \(\frac{3}{^3\sqrt{2}}\) ( der Nullstelle der Funktion f) liegen. 

Unsere Umfangsfunktion ist stetig und hat in diesem Bereich nur ein Extremum (welches wir ja schon gefunden haben). Das Minimum ist dann an einem der Ränder, also entweder für x=0 oder x=\(\frac{3}{^3\sqrt{2}}\). Setzen wir diese beiden x-Werte in unsere Umfangsfunktion ein, finden wir den Umfang 27/8 (für x=0) bzw. 7,14. Daher ist der kleinste Umfang 27/4, er wird erreicht mit x=0 (und somit Q(0 | 27/8) ).

Tatsächlich kann man da auch argumentieren, dass man den minimalen Umfang gar nicht bestimmen kann: 

Für die oben angesprochenen x-Werte ist das Rechteck quasi nur ein Strich, weil eine Seitenlänge die Länge 0 hat. Ein Strich ist aber ja nicht wirklich ein Rechteck. Man könnte dann nur so nah wie möglich an diese beiden x-Werte herangehen, so grenzwert-mässig. Das führt dann schon auch zum Minimalumfang 27/8, aber eher als Grenzwert, der nie erreicht wird.

Zusammenfassend: Wir finden hier zwar einen Minimalumfang, ob der aber auch sinnvoll ist, darf jeder selbst entscheiden. Ich persönlich bin eher der Meinung, dass ein Strich eben einfach kein Rechteck ist und auch keinen Umfang hat. Der Aufgabensteller ist da scheinbar anderer Meinung.

Weil der Punkt Q auf der Funktion liegt, können wir seine Koordinaten wie folgt angeben:

Q(x|f(x)) = Q(x | -1/4x³+27/8)

Ich skizzier' mal, wie's grob aussieht - dann kann man sich auch ein bisschen vorstellen, was gleich passiert:

Wir sehen: Die Seiten des Rechtecks sind x und -1/4x³+27/8 lang. Daher ist der Flächeninhalt in Abhängigkeit von x:

\(A(x) = x\cdot (-\frac{1}{4}x^3+\frac{27}{8}) = -\frac{1}{4}x^4+\frac{27}{8}x\)

Wir suchen nun das Maximum dieser Funktion (also Hochpunkt-Buisness as usual). Das bedeutet: Ableiten, gleich 0 setzen, Vorzeichentabelle oder 2. Ableitung, fertig.

\(A'(x) = -x^3 + \frac{27}{8} =0 \\ x^3 = \frac{27}{8} \\ x = \frac{3}{2} = 1,5 \\ \ \\ A''(x) = -3x^2 \\ \rightarrow A''(1,5) = -6,75 <0 \Rightarrow Hochpunkt\)

Mit x=1,5 ist unser Flächeninhalt also maximal groß. Damit ist unser Punkt Q bei (x=1,5 einsetzen)  Q(1,5 | 81/32) und der so entstehende Flächeninhalt ist A(1,5)=243/64.

Für den Umfang machen wir quasi das gleiche: Funktion aufstellen, Hochpunkt finden, fertig.

Der Umfang eines Rechtecks ist die Summe seiner Seitenlängen, die Seiten sind nach wie vor x und -1/4x³+27/8 lang:

\(U(x) = 2x + 2 \cdot ( - \frac{1}{4}x^3+\frac{27}{8} ) = - \frac{1}{2}x^3 +2x + \frac{27}{4} \\ \Rightarrow U'(x) = - 1,5x^2 +2 = 0\\ 1,5x^2 = 2 \\ x^2 = \frac{4}{3} \\ x = \frac{2}{\sqrt3} \ \ \ (und \ x_2=- \frac{2}{\sqrt3}) \\ U''(x) = -3x \Rightarrow U''(\frac{2}{\sqrt3} ) = -\frac{6}{\sqrt3} <0 \Rightarrow Hochpunkt\)

Wir stellen fest: der Umfang ist mit \(x=\frac{2}{\sqrt3}\) am größten. Das liefert den Punkt \(Q(\frac{2}{\sqrt3} | 2,99)\), der Umfang dazu ist dann \(U(\frac{2}{\sqrt3}) = 3,45\)

Der Umrechnungsfaktor ist \(\frac{360°}{2\pi}\).

Ich mach's mal für die dritte Angabe vor:

\(\frac{9\pi}{4} \rightarrow \frac{9\pi}{4} \cdot \frac{360°}{2\pi} = 405°\)

Davon ausgehend, dass du komplett nach t auflösen möchtest (also, dass t rechts nicht mehr vorkommen soll), würde ich ein näherungsverfahren zur Lösung empfehlen.

Du könntest die Gleichung umformen zu

0 = z(e^{-(k/m) t} -1) ⁶+ c t -25

und dann für die rechte Seite das Newton-Verfahren zur Nullstellenbestimmung durchführen.