Probolobo

Ich nehm mal an, du meinst wieder das Rechteck mit dem gegebenen Eckpunkt auf dem Graphen und Achsen-Teilen als Seiten. Dann kann ich dazu folgendes sagen:

Da passt eigentlich vieles.

Erstmal ist aber u=0 keine Lösung in (2), denn 2cos(0)+2 = 2+2=4 und nicht 0. (Das macht aber nichts eigentlich)

Dass du Pi als Lösung rausbekommst, macht auch Sinn. Ich hab' dir mal deine Zielfunktion plotten lassen:

Du siehst: sie ist streng monoton steigend überall, mit einem Terassenpunkt bei Pi. Du findest die Art des Extremums hier nicht mit der zweiten Ableitung heraus, weil sie den Wert 0 ergibt. (Auch das macht Sinn, denn ein Terassenpunkt ist immer auch ein Wendepunkt.) (Übrigens ist das, was bei Schritt 3 herauskommt, nie der Maximalwert deiner Zielfunktion. Wir nutzen diesen Wert nur, um die Art des Extremums zu bestimmen!)

Ich hatte ja bei meiner ersten Antwort zu deinen Fragen schon die Vorzeichentabelle als Methode erwähnt - diese kannst du auch hier nutzen, um zu zeigen, dass es sich um einen Terassenpunkt handelt.

Nachdem's keine Extrema in deinem Intervall gibt, muss einer der Randwerte die Lösung sein. Und weil mit u=0 auch Umfang 0 rauskommt, wird's wohl Pi sein, und unser Rechteck mit maximalem Umfang ist nur ein "Strich" auf der x-Achse. Die Diskussion, ob man das jetzt als Rechteck interpretieren möchte oder nicht, hatten wir ja schonmal ;)

Du siehst: eigentlich passt alles, du hättest nur bis zum Ende durchziehen müssen, was du letztes mal gemacht hast.

Wenn mit K der Graph der Funktion f gemeint ist, läuft alles deutlich anders und würde wahrscheinlich auch ein sinnvolleres Ergebnis liefern. Ist das hier der Fall?

Pi ist die sogenannte "Kreiszahl", geschrieben \(\pi\). Sie spielt eine große Rolle beim Berechnen von Kreisflächen und Kreisumfängen, später auch für Kugelvolumen & Oberfläche. Es gilt grob \(\pi \approx 3,14159\). Für die Schule werdet ihr wahrscheinlich oft 3,14 als Näherungswert benutzen, wenn man im Kopf überschlagen will reicht 3 als Näherung.

Der Flächeninhalt eines Kreises mit Radius r ist \(A = r^2 \cdot \pi\), sein Umfang ist \(U = 2r\cdot \pi\). Mit diesen Formeln, in denen Pi ja vorkommt, könnt ihr die Fläche und Umfang bei gegebenem Radius berechnen.

Ein Beispiel:
Eine Pizzeria bietet Pizzen mit 30cm Durchmesser an. Wie groß ist die Fläche der Pizza? Wenn man den Rand "geradebiegen" würde, wie lang wäre er?

Durchmesser = 30cm  --> Radius ist die Hälfte, also 15cm.

\(A = (15cm)^2 \cdot \pi \approx 706,9cm^2\)

-> Die Fläche einer Pizza beträgt etwa 706,9cm².

\(U = 2 \cdot 15cm \cdot \pi \approx 94,2cm\)

-> Der Umfang und damit die "Rand-Länge" einer Pizza ist etwa 94,2cm.

Davon ausgehend, dass der Pool die Form eines Quaders hat, ist das Volumen dann das Produkt aus Länge, Breite und Höhe:

V = 6m * 15m * 7m = 630m³ = 630.000dm³ = 630.000l

Ja naja, muss einem halt auffallen - das ist schon nicht so einfach, vor allem weil's auch nicht eindeutig ist. Prinzpiell gibt's da wohl unendlich viele Möglichkeiten, etwas zu finden, was beide Folgen verbindet.

Man könnte beispielsweise das gleiche tun, nur dass man vor dem addieren noch den Betrag der Folgenglieder berechnet. Das liefert für positive Start-Folgenglieder genau die gleichen Folgen, aber bei negativen geht's dann kaputt. Die Antwort für die c) wäre dann: genau die gleichen Lösungen wie für b). 

Deswegen bin ich auch kein großer Fan solcher Aufgaben - die Eindeutigkeit der Ergebnisse ist doch grad einer der angenehmen Aspekte an der Mathematik! Und hier gibt's die leider nicht - schade.

Wenn du nur das Ergebnis wissen möchtest, kannst du's in dem Rechner hier eintippen:

Die Oberfläche eines Würfels besteht aus 6 gleichen Quadraten. Alle haben die Fläche s² (wobei s die Seitenlänge der Quadrate, also die Kantenlänge des Würfels ist.)

Zusammen ergibt sich für den Oberflächeninhalt

O = 6*s².

Wenn wir nun wissen, dass der Oberflächeninhalt 600cm² ist, so können wir das in unsere Formel einsetzen und nach der Kantenlänge s auflösen:

600cm² = 6*s²   | :6

100cm² = s²     | Wurzelziehen

10cm = s

Der Würfel hatte also die Kantenlänge 10cm.

Du kannst so die Kantenlänge jedes Würfels berechnen, dessen Oberflächeninhalt du kennst. Probier's mal selbst für die 2400cm² aus dem zweiten Aufgabenteil. ;)

a) die ersten beiden Zahlen sind "frei" gewählt, danach ist jedes Kettenglied die Summe der beiden vorherigen Glieder.

Am ersten Beispiel: 8 und 28 gewählt, dann ist 36=8+28, 64 = 36+28 und 100=64+36.

b) Die ersten beiden Zahlen nenne ich x und y. Diese können wir ja wählen.

Danach ist das dritte Kettenglied x+y

Das vierte ist x+y+y

und das fünfte ist x+y+x+y+y = 2x+3y. Wir suchen die Folgen, deren fünftes Glied 100 ist, also die Folgen mit

2x+3y = 100.

Diese Gleichung kann umgeformt werden zu x = 50 - 1,5y. Wir können für y nur Gerade Zahlen wählen, denn mit ungeraden Zahlen ist x keine natürliche Zahl mehr.

Wir erhalten beispielsweise die Folgenanfänge 

47  2

44  4

41  6

usw. (mit y=2, 4, 6, ... alle geraden Zahlen eben.)

Der letzte Anfang, den wir so erhalten, ist 2  32. lassen wir unser y noch weiter wachsen, so wird x negativ.
Das liefert aber auch die Lösung zu c), denn wenn negative Zahlen erlaubt sind, so kann y alle geraden Zahlen als Wert annehmen. Das sind unendlch viele - es gibt also unendlich viele Lösungen.

Die Umrechnungszahl bei Flächen ist 100. Damit folgt:

11000cm² = 110dm² = 1,1m²

Die Farbe in der Dose reicht also nicht.

M1 ist offen, denn sie ist Komplement von {(0,0)} - und die ist abgeschlossen. M1 ist nicht abgeschlossen, denn (0,0) ist ein Randpunkt, den M1 nicht enthält.

M2 ist nicht offen, denn (1,0) ist ein Randpunkt, der in M2 enthalten ist. M2 ist aber auch nicht abgeschlossen, denn (0,0) ist ein Randpunkt, der nicht in M2 enthalten ist.

M3 ist nicht offen, denn sie besteht nur aus Randpunkten. Sie ist abgeschlossen, weil sie aus Randpunkten besteht. Um das zu zeigen, könnte man das gleiche e-Umgebungs-Argument wie in meiner anderen Antwort nutzen.

Der Abschluss von M1 und M2 ist jeweils die Menge vereinigt mit ihren nicht enthaltenen Randpunkten. Bei M1 ist das ganz R², bei M2 ist das der ganze Einheitskreis.

Stelle neue Fragen bitte auch als neue Fragen, damit sie auch jeder finden kann. Wenn du sie hier als Antwort drunter schreibst, sieht's auf den ersten Blick aus, als wäre die Frage schon beantwortet. Das senkt die Wahrscheinlichkeit, dass dir jemand hilft.

A und B sind ja quasi nur "Linien" im R², die sind immer abgeschlossen. (Das reicht als Beweis nicht aus, gibt aber vielleicht die passende Intuition mit.)

Für A könnte man Beispielsweise sagen, dass das Komplement von A die Vereinigung von RxR⁺ und RxR^- ist - diese Mengen sind offen, daher ist das Komplement von A offen und somit A abgeschlossen. 

Zu B könnte man Sagen, dass jeder Punkt in B ein Randpunkt ist, denn jede Umgebung eines Punktes enthält auch Punkte, die nicht in B sind:

Ist (x, y) ein Punkt in B, so ist der Punkt (x+e/2 , y+e/2) in der e-Umgebung enthalten (für jedes e>0  !) - aber der Punkt  (x+e/2 , y+e/2) ist nicht in B, denn (x+e/2)(y+e/2) = xy +ex/2 +ey/2 +e²/4 > 1.

(Das gleiche Argument klappt auch für die Menge A übrigens)

Die Menge A+B hingegen enthält alle Punkte, bei denen y nicht 0 ist, denn jeder Punkt (x, y) lässt sich schreiben als

(x,y) = (x - 1/y , 0) + (1/y, y)   (Erster Summand aus A, zweiter aus B)

Ist hingegen y=0, so ist der Punkt nicht in A+B, denn in B hat kein Punkt den y-Wert 0.

Diese Menge ist nicht abgeschlossen, denn eine Abgeschlossene Menge enthält all ihre Randpunkte - für A+B ist aber beispielsweise (0,0) ein Randpunkt, den die Menge nicht enthält.