+15103 Hallo Abiturient!
Ich setze voraus, dass die Zielfunktion z(x)= -0,25x^4-0,75x^3+5x bei der Aufgabe angegeben ist.
Ein Eckpunkt des Rechtecks ist \(P_1(0;0).\)
Der diagonal gegenüberliegende Eckpunkt, der auf dem Graph liegt, ist \(P_2(x;z(x))\).
x ist die gesuchte Länge der Grundseite des Rechtecks. z(x) ist die Höhe des Rechtecks.
Die Seiten des Rechtecks sind: die X-Achse, die Vertikale über x, die Horizontale durch z(x) und die Y-Achse.
Wir suchen das Rechteck mit dem größten Flächeninhalt.
Der Flächeninhalt des Rechtecks ist gleich Grundseite mal Höhe: \(\color{blue}A(x)=x\cdot z(x)\).
In diese Gleichung setzen wir den Term der Zielfunktion z(x) ein.
\(A(x)=x\cdot (-0,25x^4-0,75x^3+5x)\\ \color{blue}A(x)=-0,25x^5-0,75x^4+5x^2\).
Zum Bestimmen der Extrema ist die Funktion A(x) zu differenzieren. Die Ableitung wird gleich Null gesetzt.
\(\frac{dA(x)}{dx}=\color{blue}-1,25x^4-3x^3+10x=0\)
Mit Hife von http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/gleichungssysteme2.htm
konnte ich die Nullstellen ermitteln. Für Polynomdivision sehe ich keine Möglichkeit. Das klappt nur mit rationellen Ergebnissen. Es muss ja aufgehen.
\(\color{blue}x\in \{0;\ 1,4428\}\)
\(Bei\ x=0\ hat\ die\ Funktion\ A(x)\ ein\ Minimum.\)
Die gesuchte Grundseite des Rechtecks ist \(\color{blue}x=1,4428 \)
Die Höhe des Rechtecks ist
\(z(x)_h=-0,25x^4-0,75x^3+5x\\ =-0,25\cdot (1,4428)^4-0,75\cdot (1,4428)^3+5\cdot (1,4428 )\)
\(\color{blue}z(x)_h=3,878\)
Die maximale Fläche des Rechtecks
\(A(1,4428)=-0,25\cdot (1,4428)^5-0,75\cdot (1,4428)^4+5\cdot (1,4428)^2\\ \color{blue}A(1,4428)=5,595\)
Es würde mich freuen, wenn du mir mitteilst, ob meine Beschreibung verständlich ist. Bitte fragen, wenn etwas nicht klar ist. Anscheinend wird das Ableiten einer Potenzfunktion noch nicht voll beherscht.
!
