CPhill

The left side of the expression evaluates to

5*5^b  =  5^(b + 1)

and

625 = 5^4

So....

5^(b + 1)  =  (5^4)^(b - 1)

5^(b + 1)  = 5^(4b - 4)

Equating bexponents

b + 1  = 4b  - 4

5 =  3b

b  = 5 / 3

{z = a + bi }

( a + bi)^2  = 2i

a^2  + 2abi + (bi)^2  =  0 +  2i

a^2 - b^2  + 2abi  =   0 + 2i

Equating terms   .....This implies that

ab =  1

a = 1/b        .... so ....

a ^2 - b^2  =  0

a^2  - (1/a)^2  =  0

a^2  =  1/a^2                   multiply both sides by a^2

a^4  = 1      

a =  1                                 or      a  =  - 1

and b = 1/a = 1                    and b = 1/a  = -1                    

So

We have two  solutions

a + bi  =     1 + i

and

a + bi  =  -1 - i

Hope this makes  sense !!

We only really need to look  at     0   ≤ x <   90

When  x  =  0

cos 0  = 1           sqrt ( cos 0)  = sqrt (1)  = 1

So y =    log₂ 1 =   0

When  x  is  almost  90

cos (almost 90)  =   almost 0 =  a very small positive

So

log  ₂   sqrt (a very small positive)   =   log ₂   (a very small positive)  =  a very large negative

So...as the guest found, the range is  (-inf, 0 ]

There may be some mathematical way of doing this....I just don't know the generating "formula"

Here is a website that generates the desired partitions of 100  by summing  3 different integers :

https://www.dcode.fr/partitions-generator

Integer number N =  100

Under partition size:

Specify  M  numbers in the box   (we want 3)

Under Decomposition Content :

Check   Integer numbers from 1 to N box

Check  Only partitions without duplicates  box

Hit  "Generate"

There are quite a few ways    (784 to be exact  !!!)

The dice must  show

4 - 1  -  1

There are 3 ways this can happen

Or

2 - 2 - 1

Three ways this can happen

P (of a 4)  =   6 /216   =  1 / 36

Something like this     

       C  

             2    E    

    9                                   18

B            9             D              15                  A

Law of Cosines

9^2  = 24^2 + 20^2  -2 (20) (24)cos (CAB)

[9^2 - 24^2 - 20^2] / [ -2 (20) (24) ] = cos (CAB)

179/192  = cos (CAB)  = cos(EAD)

And again

ED^2  =  15^2 + 18^2  - 2 (15)(18) cos (EAD)

ED^2  =  15^2  + 18^2  - 2 ( 15)(18)(179/192)

ED^2  = 729 / 16

ED =  sqrt (729)/ 4  

ED  =  sqrt (3^6) / 4

ED  = (3^6)^(1/2) / 4

ED  = 3^3  / 4

ED =  27/4  =  6.75

                     Beret        Captain's     S of L      Mouse Ears

Slippers          a                b                c                  d

Flip-flops        e                f                 g                  h

Taps               i                 j                 k                   l

We have  12 dfferent  letters

So

We have 12 different  combinations  !!

3n + 8 < 30            2n  - 9  >   -4

3n < 22                  2n >   5

n < 22/3                  n > 5/2

The integers  that  satisfy this  system  are { 3 , 4 , 5 , 6 , 7}

Their product =  2520

Yep   47

(I gotta' get some  glasses  !!)

The star is just an operation symbol

a * b =    5 * 1

So   a =  5     and  b  = 1

So

5 star  1    =

9a + 2b  - ab  + 5  =

9(5) + 2(1) - (5)(1)  + 5  =

45  + 2  - 5 + 5   =

47