CPhill

23x - 79 + 4   =   -41

23x - 75   -41      add 75 to  both sides

23x  = 34           divide both sides by 23

x  =  34 / 23

\( (2 + \sqrt{5})(137) = a + b \sqrt{5} \)

Simplify as

274  + 137sqrt (5)

a  = 274 =  137*2        b = 137

a^2  - 5b^2   =

(a  - sqrt (5) b)  ( a +  sqrt(5) b)   =

(137 * 2  - 137 sqrt (5)) ( 137 *2   137 sqrt (5))  

137(2 - sqrt 5) * 137 (2 + sqrt (5) ) =

137^2 *  ( 2 - sqrt 5) (2 + sqrt 5)  

137^2 ( 4 - 5)  =

137^2 (-1)   

-137^2    =   

-18769

log (y) + log (2)  = log (a^(-x) + a^x)

log (2y) =  log ( 1/a^x + a^x)

log (2y)  = log  [ (1+ a^(2x)) / a^x]

2y  =  ( 1 + a^(2x) )  / a^x 

2y (a^x)  = 1 + (a^x)^2        let a^x =  m

2y (m)  = 1  + m^2

m^2 - (2y)m  + 1  =  0

m^2 - (2y)m + y^2  =  - 1 + y^2

(m - y)^2  =  y^2 -1         take the positive root

m - y =  sqrt [y^2 -1 ] 

m =  sqrt [ y^2 - 1  ] + y

a^x  = sqrt [ y^2 - 1 ] + y

log a^x = log [ sqrt ( y^2  -1) + y ]

x log a  = log [ sqrt ( y^2 - 1)  + y ] 

x =  log [ sqrt (  y^2 - 1) +  y ]

      ____________________         ,   { y  ≥ 1 }

               log a

Simplify  as

4y^2  -11y    - 4x^2  -8x    =  15         complete the square on x, y

4 (y^2 - (11/4)y  + 121/64)  -  4(x^2 + 2x + 1)  =  15  + 121/64 - 4   

4( y - 11/8)^2  -  4(x + 1)^2  =  297/16

(y -11/8)^2   -    ( x + 1)^2 =  1

__________     ________

  297/64            297/64

Vertices =  (-1, 11/8  +/- sqrt (297) / 8 )

6x^2 -18x + 17  + 3y^2 + 6y  + 11  = 28

x + y = 20

y  = 20 - x

So

6x^2 - 18x + 17 + 3(20 -x)^2 + 6(20 -x) + 11  = 28

6x^2  -18x + 3(x^2 - 40x + 400)  + 120 -6x + 28  = 28

6x^2 - 18x + 3x^2 -120x + 1200 + 120 -6x  =  0

9x^2 - 144x + 1320  =  0

No real solutions for this since the discriminant   144^2  - 36*1320 = -26784  is negative

-4x^2 + y^2 -2y = -3y^2 + 8x + 9y + 15

4y^2 - 11y   -  4x^2  - 8x  =  15     complete the square on  x, y

4(y^2 -(11/4)y + 121/64) - 4(x^2 + 2x + 1)   =  15 + 121/16 - 4

4( y - 11/8)^2  -  4(x + 1)^2   =  297/16

Center  = (-1, 11/8)       

Simplify as

6x^3  - 34x^2  - 60x - 225  =  0 

No integer roots

Only real root ≈  7.62

https://www.wolframalpha.com/input?i=x%5E3+-+14x%5E2+-+67x+-+90+%2B+5x%5E3+-+20x%5E2+%2B+7x+-+135+%3D0

Simplify as

-33x  -8y^2  + 11y  + 29  = 0

33x + 8y^2 - 11y  - 29  = 0

33x  =  -8y^2 + 11y  + 29

x =  (-8y^2 + 11y  + 29) / 33

x to 1st power, y to second power =   negative in front of y^2  = parabola  opening to the left

Let  p(x)  = ax^3 + bx^2 + cx + d

If p(0) = 0, then  d = 0

So   we have the equations

a(1)^3 + b(1)^2 + c(1)  = 1

a(2)^3 + b(2)^2 + c(2)  = 2

a(3)^3 + b(3)^2 + c(3)   =3       simplify these

a + b +  c  = 1                    (1)

8a +4b + 2c  = 2                (2)

27a + 9b + 3c  = 3             (3)

Multiply (1) by -2  add to (2)   and multiply 1 by -3  and add to (3)

6a  + 2b =  0    →  3a + b =  0   →  -3a - b = 0   ( 4)

24a + 6b  = 0   →  4a + b = 0  (5)

Add (4) , (5)     a = 0      and  so       b = 0

No such cubic polynomial exists

Let  g(x)  = x^3  + bx^2  + cx + d

                        x  

x^2  - x  - 6   [  x^3  + bx^2 + cx  + d ] 

                        x^3  -  x^2    - 6x

                      __________________

b + 1  = 0       c + 6  = 2       d = 7

b = -1              c = -4 

So g(x)  =  x^3 -x^2 -4x + 7

g(8) =  8^3  - 8^2 - 4(8) + 7   =  423