Der Induktionsanfang klappt ja wahrscheinlich immer ganz gut, oder?
Aussage 1 ist nicht per Induktion beweisbar, weil sie falsch ist: Der letzte Summand der linken Summe ist (n+1)*2n+1 = n*2n+1+2n+1.
Da n*2n+1 > 2n ist und 2n+1 > 2 ist für alle Zahlen n, ist schon der letzte Summand der linken Summe größer als die rechte Seite. Alle Summanden davor sind positiv, weshalb die linke Summe für alle n größer ist als die rechte Seite.
Bei Aufgabe 3 sieht man aber schön, wie Induktion funktioniert, grad wenn's um so Summen-Gleichungen geht:
Erstmal der Induktionsanfang:
IA: n=1
\(\sum_{k=1}^1 2k = 2\cdot 1 = 2 = 1\cdot (1+1)\) - die Aussage stimmt!
Induktionsvoraussetzung IV: Die Aussage gelte für alle Zahlen bis zu einer natürlichen Zahl n. Es gilt also \(\sum_{k=1}^n2k = n(n+1)\) für alle Zahlen bis zu einem festen n.
Induktionsschritt IS: Wir folgern daraus nun, dass die Aussage auch für n+1 gelten muss. Dafür betrachten wir die linke Summe bis n+1 und spalten den letzten Summanden ab. Dann können wir die Induktionsvoraussetzung benutzen:
\(\sum_{k=1}^{n+1}2k = \\ \sum_{k=1}^n2k +2\cdot (n+1) =^* \\ n(n+1) + 2(n+1) = \\ (n+2)(n+1) = \\ (n+1)(n+1+1)\)
Wir sehen: Aus der linken Summe (bis n+1) konnten wir genau den rechten Ausdruck mit n+1 statt n errechnen. Damit ist die Aussage bewiesen.
