Meinst du damit das Axiomensystem ganz am Anfang deines Links, wo Gruppen definiert werden? Das hat mit natürlichen Zahlen erstmal nix zu tun, vor Allem weil die gar keine Gruppe sind (gibt keine additiven Inversen). Das Axiomensystem, das die natürlichen Zahlen charakterisiert, ist das System der Peano-Axiome.
Man kann die Kommutativität der Multiplikation schon per Induktion nachweisen, das funktioniert schon auch ca. so wie du's gemacht hast. Das Distributivgesetz wird dafür vorausgesetzt. Die Induktion sieht ca. so aus:
Sei erstmal m eine feste natürliche Zahl.
IA: n=1: m*1=1*m ist wahr, weil 1 als neutrales Element der Multiplikation mit allem kommutieren muss.
IV: nm=mn für eine natürliche Zahl n.
IS: Wir zeigen (n+1)m=m(n+1):
(n+1)m = nm+1m =* mn+m1 = m(n+1)
Bei * wird die IV benutzt um in beiden Summanden die Faktoren zu tauschen.
So ist gezeigt: mn=nm für unser festes m und jede Zahl n. Weil m beliebig war, ist also nm=mn für alle natürlichen Zahlen m, n.
Was der \bigwedge am Anfang soll ist mir aber immer noch unklar :D Würde man das nicht so schreiben:
\(\forall m, n \in \mathbb{N} : mn=nm\) ?
