Probolobo

Also gut, auf gehts!

Wir fangen mal mit dem Zähler an: x⁴-4x³+4x². Da fällt (hoffetlich) auf, dass wir x² ausklammern können. Dadurch wird unser Zähler zu

x²(x²-4x+4)

Bei dem zweiten Faktor könnte einem jetzt auffallen, dass das eine binomische Formel ist. Alternativ nutzt man klassisch die Mitternachtsformel und findet x_1/2=2. Daher können wir unseren Zähler auch schreiben als

x²(x-2)²

Das ist die vollständige Linearfaktorzerlegung des Zählers. Jetzt geht's mit dem Nenner weiter: x⁵-8x³+16x. Auch hier können wir zunächst x ausklammern:

x(x⁴-8x²+16)

Nun suchen wir noch die Nullstellen des zweiten Faktors:

x⁴-8x²+16 = 0

Da müsste einem auffallen, dass der erste Exponent das doppelte des zweiten ist. Das ist ein deutlicher Hinweis, dass Substitution hier angebracht ist:

x⁴-8x²+16 = 0 |z=x²

z²-8z+16 = 0

Diese Gleichung kann mit der Mitternachtsformel gelöst werden, man findet z_1/2=4. Das ist jetzt aber noch nicht der gesuchte x-Wert, sondern ein Wert für z. Daher: Rücksubstitution!

z=x²

4=x²  |Wurzel

x₁=2 und x₂=-2

Da wir den Wert für z "zweimal", also als doppelte Lösung der z-Gleichung, erhalten haben, finden wir auch diese beiden x-Werte jeweils doppelt. Unser Zähler lässt sich daher schreiben als

x(x+2)²(x-2)²

Mit diesen beiden Resultaten wird unsere Funktion zu

\(\frac{x^4-4x^3+x^2}{x^5-8x^3+16x} = \frac{x^2\cdot (x-2)^2}{x\cdot (x+2)^2\cdot (x-2)^2} = \frac{x}{(x+2)^2}\)

Im zweiten Schritt kürze ich die beiden (x-2)² und ein x weg, wodurch unser finales Ergebnis entsteht.

Wahlweise auch 2,5:

Betrachtet man nur die erste Ziffer jeder Zahlenfolge, so ist

-0,5*1+5,5=5

-0,5*5+5,5=3

-0,5*3+5,5=4

Mit dieser Vorschrift ist -0,5*6+5,5=2,5 das gesuchte Ergebnis.

Wie in deiner anderen Frage schon erwähnt lässt sich auch hier jede Zahl als Ergebnis rechtfertigen. Ich will so übrigens auch nicht den Spaß an solchen "Knobelaufgaben" nehmen, sondern betonen, dass man hier sehr vorsichtig damit sein muss, Ergebnisse als falsch oder richtig zu bezeichnen.

5/6 der Vanille-Windbeutel sind 5/6*3/4 = 5/8 der Gesamt-Windbeutel. Ich nenn' die Gesamtanzahl der Windbeutel mal x. Nachdem 1/5 der Windbeutel übrig sind, hat sie 4/5 davon verkauft.

Es gilt

4/5 *x = 5/8 *x +210   |-5/8 *x

7/40 x = 210   | :(7/40)

x = 1200

Sie hatte am Anfang also 1200 Windbeutel. Davon hat sie 4/5 verkauft, also 4/5 *1200 = 960.

Das sind sehr viele Windbeutel, Frau Lewis scheint die industriell herzustellen :D

Die Diagonalen "zerschneiden" das Quadrat ja zu vier Dreiecken. Betrachtet man zwei gegenüberliegende Dreiecke, so ist wegen dem WSW-Satz klar, dass die Dreiecke kongruent sind. Das bedeutet aber auch, dass die kurzen Seiten zumindest paarweise gleich lang sind. Die Diagonalen wurden also beide in zwei Stücke getrennt, die jeweils gleich lang sind. Das bedeutet, dass sie halbiert wurden.

Bei 2*(2+x) = 5 könnte man ja auch erstmal durch 2 teilen & würde bei 2+x=2,5 'rauskommen. Noch deutlicher wird's wenn man sich's als Zwischenschritt als Bruch notiert:

\(\frac{2 \cdot log_{10}(2x-4)}{2} = 2,5 \)

Da sieht man gut: Der Zähler hat zwei Faktoren, nämlich 2 und den logarithmus, kürzt man nun mit 2, so fällt der Faktor 2 weg, den Logarithmus lässt man stehen.

Zwischen dem x und dem log₁₀(3) steht ja ein Mal-Zeichen. Du kannst schon zuerst den Logarithmus ausrechnen, teilen musst du aber trotzdem.

Bei zB. x*3 = 12 wird ja auch durch 3 geteilt & das Ergebnis ist 4.

Der Grund, warum man die Logarithmen zwischendrin üblicherweise nicht ausrechnet, ist übrigens, dass du beim Bilden der Dezimalzahlen dann ja runden würdest & mit gerundeten Ergebnissen weitermachst. Dadurch wird dein Ergebnis ungenauer.

Correct!

Am sinnvollsten ist es wahrscheinlich, eine vollständige Zerlegung in Linearfaktoren für Zähler und Nenner jeweils einzeln durchzuführen. Also erstmal Nullstellen & dann als Produkt von Linearfaktoren umschreiben. Danach sieht man gut, was man kürzen kann.

Ich hab's hier nicht selbst gemacht um ehrlich zu sein, wenn nicht klar ist, was ich mein', kann ichs aber gern mal vormachen (oder besser: du fängst mal mit der Nullstellenberechnung an, vielleicht siehst du, was ich mein'. Ggf. kannst du gern auch deine Zwischenergebnisse präsentieren und ich sag' dir wie's weitergeht oder was falsch ist.)

Die relative Häufigkeit erhältst du, indem du die Anzahl der Sachen, deren relative Häufigkeit du willst, durch die Gesamtanzahl teilst. Du hast beispielsweise 7 Zahlen genannt, davon sind zwei Zahlen die 3, die relative Häufigkeit von 3 in deinen Zahlen ist also \(\frac{2}{7} \approx 0,286 = 28,6 \%\).